Основы мат. анализа Примеры

(0, 9)

$(0, 9)$ ,

(5, 4)

$(5, 4)$ ,

(1, 4)

$(1, 4)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

y = a x^{2} + b x + c

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения

x

$x$ и

y

$y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c

$9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно

c

$c$ в

9 = a \cdot 0^{2} + c

$9 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде

a \cdot 0^{2} + c = 9

$a \cdot 0^{2} + c = 9$ .

a \cdot 0^{2} + c = 9

$a \cdot 0^{2} + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2

Упростим

a \cdot 0^{2} + c

$a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

a \cdot 0 + c = 9

$a \cdot 0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим

a

$a$ на

0

$0$ .

0 + c = 9

$0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

0 + c = 9

$0 + c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим

0

$0$ и

c

$c$ .

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

c = 9

$c = 9$

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения

c

$c$ на

9

$9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения

c

$c$ в

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ на

9

$9$ .

4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

c = 9

$c = 9$

4 = a + b + c

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2

Упростим

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Возведем

$5$ в степень

$2$ .

$4 = a \cdot 25 + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2.1.2

Перенесем

$25$ влево от

$a$ .

$4 = 25 \cdot a + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2.1.3

Перенесем

$5$ влево от

$b$ .

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения

$c$ в

$4 = a + b + c$ на

$9$ .

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Избавимся от скобок.

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3

Решим относительно

$a$ в

$4 = a + b + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде

$a + b + 9 = 4$ .

$a + b + 9 = 4$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без

$a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем

$b$ из обеих частей уравнения.

$a + 9 = 4 - b$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2.2

Вычтем

$9$ из обеих частей уравнения.

$a = 4 - b - 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2.3

Вычтем

$9$ из

$4$ .

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.4

Заменим все вхождения

$a$ на

$- b - 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения

$a$ в

$4 = 25 a + 5 b + 9$ на

$- b - 5$ .

$4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим

$25 (- b - 5) + 5 b + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим

$- 1$ на

$25$ .

$4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим

$25$ на

$- 5$ .

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Добавим

$- 25 b$ и

$5 b$ .

$4 = - 20 b - 125 + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.2.2

Добавим

$- 125$ и

$9$ .

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5

Решим относительно

$b$ в

$4 = - 20 b - 116$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде

$- 20 b - 116 = 4$ .

$- 20 b - 116 = 4$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без

$b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим

$116$ к обеим частям уравнения.

$- 20 b = 4 + 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.2.2

Добавим

$4$ и

$116$ .

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член

$- 20 b = 120$ на

$- 20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член

$- 20 b = 120$ на

$- 20$ .

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель

$- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим

$b$ на

$1$ .

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим

$120$ на

$- 20$ .

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.6

Заменим все вхождения

$b$ на

$- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения

$b$ в

$a = - b - 5$ на

$- 6$ .

$a = - (- 6) - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим

$- (- 6) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 6$ .

$a = 6 - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем

$5$ из

$6$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = 1, b = - 6, c = 9$

Этап 4

Подставим фактические значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу