Основы мат. анализа Примеры

$(0, 9)$ , $(5, 4)$ , $(1, 4)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения $y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения $x$ и $y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

$9 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(5)}^{2} + b (5) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $c$ в $9 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $a \cdot 0^{2} + c = 9$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2

Упростим $a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a \cdot 0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $a$ на $0$ .

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $c$ .

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 9$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $c$ на $9$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $c$ в $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ на $9$ .

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2

Упростим $4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$4 = a \cdot 25 + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2.1.2

Перенесем $25$ влево от $a$ .

$4 = 25 \cdot a + b (5) + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.2.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $b$ .

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $c$ в $4 = a + b + c$ на $9$ .

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Избавимся от скобок.

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$4 = a + b + 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3

Решим относительно $a$ в $4 = a + b + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $a + b + 9 = 4$ .

$a + b + 9 = 4$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$a + 9 = 4 - b$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$a = 4 - b - 9$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $9$ из $4$ .

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

$a = - b - 5$

$4 = 25 a + 5 b + 9$

$c = 9$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $a$ на $- b - 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $a$ в $4 = 25 a + 5 b + 9$ на $- b - 5$ .

$4 = 25 (- b - 5) + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $25 (- b - 5) + 5 b + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 25 (- b) + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$4 = - 25 b + 25 \cdot - 5 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $25$ на $- 5$ .

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 25 b - 125 + 5 b + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Добавим $- 25 b$ и $5 b$ .

$4 = - 20 b - 125 + 9$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.4.2.1.2.2

Добавим $- 125$ и $9$ .

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$4 = - 20 b - 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5

Решим относительно $b$ в $4 = - 20 b - 116$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 20 b - 116 = 4$ .

$- 20 b - 116 = 4$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $116$ к обеим частям уравнения.

$- 20 b = 4 + 116$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.2.2

Добавим $4$ и $116$ .

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$- 20 b = 120$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $- 20 b = 120$ на $- 20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $- 20 b = 120$ на $- 20$ .

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 20 b}{- 20} = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = \frac{120}{- 20}$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $120$ на $- 20$ .

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

$b = - 6$

$a = - b - 5$

$c = 9$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $b$ на $- 6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $b$ в $a = - b - 5$ на $- 6$ .

$a = - (- 6) - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $- (- 6) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$a = 6 - 5$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $5$ из $6$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 9$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = 1, b = - 6, c = 9$

Этап 4

Подставим фактические значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = x^{2} - 6 x + 9$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу