Основы мат. анализа Примеры

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ к $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x^{2} + 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $9 x$ из $27 x$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $9 x$ из $9 x (x) + 9 x (3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $9 x (x + 3)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Этап 2.1.7

Добавим $- 3 x$ и $9 x$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 2.1.8.3

Перепишем многочлен.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 3$ (кратно $3$ )

Этап 3

Введите СВОЮ задачу