Основы мат. анализа Примеры

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 \cdot 1 - 3 \cdot 2

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

4 - 3 \cdot 2

$4 - 3 \cdot 2$

Этап 2.2.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

2

$2$ .

4 - 6

$4 - 6$

4 - 6

$4 - 6$

Этап 2.2.2

Вычтем

6

$6$ из

4

$4$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

Этап 6

Умножим

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ на каждый элемент матрицы.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ в числитель.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 2

$- 2$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.4

Умножим

- \frac{1}{2} \cdot - 3

$- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

- 1

$- 1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.4.2

Объединим

3

$3$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.5

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ в числитель.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

Этап 7.5.3

Сократим общий множитель.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

Этап 7.5.4

Перепишем это выражение.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 7.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу