Основы мат. анализа Примеры

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 3 & 1 3 & 2 & 1 4 & 3 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для

a_{12}

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

2

$2$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент

a_{12}

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для

a_{13}

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент

a_{13}

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

2

$2$ на

4

$4$ .

4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 (8 - 3) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 (8 - 3) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем

3

$3$ из

8

$8$ .

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 4 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (3 \cdot 4 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

3

$3$ на

4

$4$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 (12 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем

4

$4$ из

12

$12$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 4 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (3 \cdot 3 - 4 \cdot 2)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

3

$3$ на

3

$3$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 4 \cdot 2)$

Этап 4.2.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 (9 - 8)$

Этап 4.2.2

Вычтем

8

$8$ из

9

$9$ .

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим

4

$4$ на

5

$5$ .

20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1

$20 - 3 \cdot 8 + 1 \cdot 1$

Этап 5.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

8

$8$ .

20 - 24 + 1 \cdot 1

$20 - 24 + 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

20 - 24 + 1

$20 - 24 + 1$

Этап 5.2

Вычтем

24

$24$ из

20

$20$ .

- 4 + 1

$- 4 + 1$

Этап 5.3

Добавим

- 4

$- 4$ и

1

$1$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Введите СВОЮ задачу