Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Этап 2.3

Упростим $- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $2 \cdot 5$ .

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $- - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 3.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 3.2.1.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Этап 3.2.1.5

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Этап 3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Этап 3.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Этап 3.2.4.3

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу