Основы мат. анализа Примеры

\frac{1}{2} \cdot \sin (x)

$\frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

Этап 1

Применим форму

a \sin (b x - c) + d

$a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$

b = 1

$b = 1$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду

| a |

$| a |$ .

Амплитуда:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем период

\frac{\sin (x)}{2}

$\frac{\sin (x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4

Разделим

2 π

$2 π$ на

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины

c

$c$ и

b

$b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы:

\frac{0}{1}

$\frac{0}{1}$

Этап 4.3

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

Сдвиг фазы:

0

$0$

Сдвиг фазы:

0

$0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Период:

2 π

$2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в

x = 0

$x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

0

$0$ .

f (0) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (0) = \frac{\sin (0)}{2}$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Точное значение

\sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

f (0) = \frac{0}{2}

$f (0) = \frac{0}{2}$

Этап 6.1.2.2

Разделим

0

$0$ на

2

$2$ .

f (0) = 0

$f (0) = 0$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение

\sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ :

1

$1$ .

f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Окончательный ответ:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Этап 6.3

Найдем точку в

x = π

$x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

π

$π$ .

f (π) = \frac{\sin (π)}{2}

$f (π) = \frac{\sin (π)}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

f (π) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (π) = \frac{\sin (0)}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Точное значение

\sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

f (π) = \frac{0}{2}

$f (π) = \frac{0}{2}$

f (π) = \frac{0}{2}

$f (π) = \frac{0}{2}$

Этап 6.3.2.2

Разделим

0

$0$ на

2

$2$ .

f (π) = 0

$f (π) = 0$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 6.4

Найдем точку в

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ .

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Точное значение

\sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ :

1

$1$ .

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}$

f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{2}

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ:

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ .

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Найдем точку в

x = 2 π

$x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

2 π

$2 π$ .

f (2 π) = \frac{\sin (2 π)}{2}

$f (2 π) = \frac{\sin (2 π)}{2}$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Удалим число полных оборотов

2 π

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

0

$0$ и меньше

2 π

$2 π$ .

f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2}

$f (2 π) = \frac{\sin (0)}{2}$

Этап 6.5.2.1.2

Точное значение

\sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

f (2 π) = \frac{0}{2}

$f (2 π) = \frac{0}{2}$

f (2 π) = \frac{0}{2}

$f (2 π) = \frac{0}{2}$

Этап 6.5.2.2

Разделим

0

$0$ на

2

$2$ .

f (2 π) = 0

$f (2 π) = 0$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Период:

2 π

$2 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2} & \frac{1}{2} \\ π & 0 \\ \frac{3 π}{2} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \end{array}$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу