Основы мат. анализа Примеры

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 3

$c = 3$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем

- 5

$- 5$ в степень

2

$2$ .

e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Чтобы записать

3

$3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим

3

$3$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.5.1

Умножим

3

$3$ на

4

$4$ .

e = \frac{12 - 25}{4}

$e = \frac{12 - 25}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.5.2

Вычтем

25

$25$ из

12

$12$ .

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$ .

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

Этап 1.1.2

Приравняем

y

$y$ к новой правой части.

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

a

$a$ ,

h

$h$ и

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = \frac{5}{2}

$h = \frac{5}{2}$

k = - \frac{13}{4}

$k = - \frac{13}{4}$

Этап 1.3

Поскольку

a

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину

(h, k)

$(h, k)$ .

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Этап 1.5

Найдем

p

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

a

$a$ в формулу.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{7}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 5$ на

$1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 3$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем

$5$ из

$1$ .

$f (1) = - 4 + 3$

Этап 2.2.2.2

Добавим

$- 4$ и

$3$ .

$f (1) = - 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$- 1$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3$

Этап 2.5.1.2

Умножим

$- 5$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Этап 2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Этап 2.5.2.2

Добавим

$0$ и

$3$ .

$f (0) = 3$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = 0$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3$

Этап 2.8.1.2

Умножим

$- 5$ на

$3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 3$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем

$15$ из

$9$ .

$f (3) = - 6 + 3$

Этап 2.8.2.2

Добавим

$- 6$ и

$3$ .

$f (3) = - 3$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$- 3$ .

$- 3$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 3$ равно

$- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем

$4$ в степень

$2$ .

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3$

Этап 2.11.1.2

Умножим

$- 5$ на

$4$ .

$f (4) = 16 - 20 + 3$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем

$20$ из

$16$ .

$f (4) = - 4 + 3$

Этап 2.11.2.2

Добавим

$- 4$ и

$3$ .

$f (4) = - 1$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$- 1$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 4$ равно

$- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Фокус:

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Ось симметрии:

$x = \frac{5}{2}$

Директриса:

$y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Этап 4

Введите СВОЮ задачу