Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $2$ на $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ: $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $5 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Этап 2.2.2

Перенесем $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Этап 2.2.3

Изменим порядок $14 h x$ и $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2} + 5 x - 4)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2}) - (5 x) - - 4}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - (5 x) - - 4}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x - - 4}{h}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x + 4}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем $7 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 + 0 - 5 x + 4}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим $7 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 - 5 x + 4}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим $7 h^{2}$ и $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h - 4 + 4}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ и $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $h$ из $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель $h$ из $7 h^{2}$ .

$\frac{h (7 h) + 14 h x + 5 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель $h$ из $14 h x$ .

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + 5 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель $h$ из $5 h$ .

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 5}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель $h$ из $h (7 h) + h (14 x)$ .

$\frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 5}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель $h$ из $h (7 h + 14 x) + h \cdot 5$ .

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $7 h + 14 x + 5$ на $1$ .

$7 h + 14 x + 5$

Этап 4.2.2

Изменим порядок $7 h$ и $14 x$ .

$14 x + 7 h + 5$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу