Основы мат. анализа Примеры

4 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на

12

$12$ , чтобы правая часть была равна единице.

\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

1

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная

a

$a$ представляет большую ось эллипса,

b

$b$ — малую ось,

h

$h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а

k

$k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

a = 2

$a = 2$

b = \sqrt{3}

$b = \sqrt{3}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид

(h, k)

$(h, k)$ . Подставим значения

h

$h$ и

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем

c

$c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу.

\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{4 - 3^{1}}

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

\sqrt{4 - 3^{1}}

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

\sqrt{4 - 1 \cdot 3}

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

\sqrt{4 - 1 \cdot 3}

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

\sqrt{4 - 3}

$\sqrt{4 - 3}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем

3

$3$ из

4

$4$ .

\sqrt{1}

$\sqrt{1}$

Этап 5.3.3.3

Любой корень из

1

$1$ равен

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

1

$1$

1

$1$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив

a

$a$ к

k

$k$ .

(h, k + a)

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения

h

$h$ ,

a

$a$ и

k

$k$ в формулу.

(0, 0 + 2)

$(0, 0 + 2)$

Этап 6.3

Упростим.

(0, 2)

$(0, 2)$

Этап 6.4

Вторую вершину эллипса можно найти путем вычитания

a

$a$ из

k

$k$ .

(h, k - a)

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения

h

$h$ ,

a

$a$ и

k

$k$ в формулу.

(0, 0 - (2))

$(0, 0 - (2))$

Этап 6.6

Упростим.

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив

c

$c$ к

k

$k$ .

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

h

$h$ ,

c

$c$ и

k

$k$ в формулу.

(0, 0 + 1)

$(0, 0 + 1)$

Этап 7.3

Упростим.

(0, 1)

$(0, 1)$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя

c

$c$ из

k

$k$ .

(h, k - c)

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения

h

$h$ ,

c

$c$ и

k

$k$ в формулу.

(0, 0 - (1))

$(0, 0 - (1))$

Этап 7.6

Упростим.

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу.

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Этап 8.3.2.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

Этап 8.3.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

Этап 8.3.4

Вычтем

3

$3$ из

4

$4$ .

\frac{\sqrt{1}}{2}

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

Этап 8.3.5

Любой корень из

1

$1$ равен

1

$1$ .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр:

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(0, 2)

$(0, 2)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(0, - 2)

$(0, - 2)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(0, 1)

$(0, 1)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Эксцентриситет:

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

Этап 10

Введите СВОЮ задачу