Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $52$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Этап 1.2

Вычтем $52$ из $3$ .

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Этап 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Этап 3

Подставим $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} + 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Этап 4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Этап 5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} + 54 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{27}{9}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $27$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $54$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $2916$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $81$ из $0$ .

$e = - 81$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Этап 6

Подставим $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ вместо $9 y^{2} + 54 y$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Этап 7

Перенесем $- 81$ в правую часть уравнения, прибавив $81$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Этап 8

Упростим $- 49 + 4 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $- 49$ и $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Этап 8.2

Добавим $- 45$ и $81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Этап 9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Введите СВОЮ задачу