Основы мат. анализа Примеры

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем

52

$52$ из обеих частей уравнения.

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

Этап 1.2

Вычтем

52

$52$ из

3

$3$ .

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

Этап 2

Составим полный квадрат для

4 x^{2} + 8 x

$4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 8

$b = 8$

c = 0

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{8}{2 \cdot 4}

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель

8

$8$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

8

$8$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 2.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем

$8$ в степень

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим

$64$ на

$16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 2.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$e = - 4$

Этап 2.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Этап 3

Подставим

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ вместо

$4 x^{2} + 8 x$ в уравнение

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

Этап 4

Перенесем

$- 4$ в правую часть уравнения, прибавив

$4$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

Этап 5

Составим полный квадрат для

$9 y^{2} + 54 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель

$54$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{27}{9}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель

$27$ и

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель

$9$ из

$27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель

$9$ из

$9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим

$3$ на

$1$ .

$d = 3$

Этап 5.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем

$54$ в степень

$2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим

$2916$ на

$36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 5.4.2.2

Вычтем

$81$ из

$0$ .

$e = - 81$

Этап 5.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Этап 6

Подставим

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ вместо

$9 y^{2} + 54 y$ в уравнение

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

Этап 7

Перенесем

$- 81$ в правую часть уравнения, прибавив

$81$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

Этап 8

Упростим

$- 49 + 4 + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим

$- 49$ и

$4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

Этап 8.2

Добавим

$- 45$ и

$81$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

Этап 9

Разделим каждый член на

$36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

$1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

Введите СВОЮ задачу