Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y - 11 = 0$

Этап 1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$

Этап 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 8}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Этап 3

Подставим $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ вместо $4 x^{2} - 16 x$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 18 y = 11$

Этап 4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} - 18 y = 11 + 16$

Этап 5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 18 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9}{9}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $324$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y - 1)}^{2} - 9$

Этап 6

Подставим $9 {(y - 1)}^{2} - 9$ вместо $9 y^{2} - 18 y$ в уравнение $4 x^{2} + 9 y^{2} - 16 x - 18 y = 11$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} - 9 = 11 + 16$

Этап 7

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 11 + 16 + 9$

Этап 8

Упростим $11 + 16 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $11$ и $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 27 + 9$

Этап 8.2

Добавим $27$ и $9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y - 1)}^{2} = 36$

Этап 9

Разделим каждый член на $36$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4} = 1$

Введите СВОЮ задачу