Основы мат. анализа Примеры

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Этап 1

Составим полный квадрат для

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель

4

$4$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

d = \frac{2}{1}

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим

2

$2$ на

1

$1$ .

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

d = 2

$d = 2$

Этап 1.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель

4^{2}

$4^{2}$ и

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4^{2}

$4^{2}$ .

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

e = 0 - \frac{4}{1}

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.4

Разделим

4

$4$ на

1

$1$ .

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

e = 0 - 1 \cdot 4

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

4

$4$ .

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

e = 0 - 4

$e = 0 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем

4

$4$ из

0

$0$ .

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

Этап 1.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$ .

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$

Этап 2

Подставим

{(x + 2)}^{2} - 4

${(x + 2)}^{2} - 4$ вместо

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ в уравнение

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

{(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

Этап 3

Перенесем

- 4

$- 4$ в правую часть уравнения, прибавив

4

$4$ к обеим частям.

{(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Этап 4

Составим полный квадрат для

- y^{2} - 8 y

$- y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 8

$b = - 8$

c = 0

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель

- 8

$- 8$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 8

$- 8$ .

d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя

\frac{- 4}{- 1}

$\frac{- 4}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 4

$d = - 1 \cdot - 4$

d = - 1 \cdot - 4

$d = - 1 \cdot - 4$

Этап 4.3.2.2

Перепишем

- 1 \cdot - 4

$- 1 \cdot - 4$ в виде

- - 4

$- - 4$ .

d = - - 4

$d = - - 4$

Этап 4.3.2.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 4

$- 4$ .

d = 4

$d = 4$

d = 4

$d = 4$

d = 4

$d = 4$

Этап 4.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем

- 8

$- 8$ в степень

2

$2$ .

e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

- 1

$- 1$ .

e = 0 - \frac{64}{- 4}

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Этап 4.4.2.1.3

Разделим

64

$64$ на

- 4

$- 4$ .

e = 0 - - 16

$e = 0 - - 16$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 16

$- 16$ .

e = 0 + 16

$e = 0 + 16$

e = 0 + 16

$e = 0 + 16$

Этап 4.4.2.2

Добавим

0

$0$ и

16

$16$ .

e = 16

$e = 16$

e = 16

$e = 16$

e = 16

$e = 16$

Этап 4.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$ .

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

Этап 5

Подставим

- {(y + 4)}^{2} + 16

$- {(y + 4)}^{2} + 16$ вместо

- y^{2} - 8 y

$- y^{2} - 8 y$ в уравнение

x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

Этап 6

Перенесем

16

$16$ в правую часть уравнения, прибавив

16

$16$ к обеим частям.

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

Этап 7

Упростим

0 + 4 - 16

$0 + 4 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим

0

$0$ и

4

$4$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

Этап 7.2

Вычтем

16

$16$ из

4

$4$ .

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

{(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

Этап 8

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

Этап 9

Разделим каждый член на

12

$12$ , чтобы правая часть была равна единице.

- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна

1

$1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна

1

$1$ .

\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

Введите СВОЮ задачу