Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Этап 2

Подставим ${(x + 2)}^{2} - 4$ вместо $x^{2} + 4 x$ в уравнение $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

Этап 3

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Этап 4

Составим полный квадрат для $- y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Этап 4.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 4$ в виде $- - 4$ .

$d = - - 4$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$d = 4$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Этап 4.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Этап 4.4.2.2

Добавим $0$ и $16$ .

$e = 16$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 4)}^{2} + 16$ .

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

Этап 5

Подставим $- {(y + 4)}^{2} + 16$ вместо $- y^{2} - 8 y$ в уравнение $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

Этап 6

Перенесем $16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

Этап 7

Упростим $0 + 4 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $0$ и $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

Этап 7.2

Вычтем $16$ из $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

Этап 8

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

Этап 9

Разделим каждый член на $12$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

Введите СВОЮ задачу