Основы мат. анализа Примеры

x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$

Этап 1

Составим полный квадрат для

x^{2} + 4 x

$x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель

4

$4$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4

$4$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.3.2.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$d = 2$

Этап 1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель

$4^{2}$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель

$4$ из

$4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.4.2.1.1.2.4

Разделим

$4$ на

$1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$e = - 4$

Этап 1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Этап 2

Подставим

${(x + 2)}^{2} - 4$ вместо

$x^{2} + 4 x$ в уравнение

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + 2 y + y^{2} = 9$

Этап 3

Перенесем

$- 4$ в правую часть уравнения, прибавив

$4$ к обеим частям.

${(x + 2)}^{2} + 2 y + y^{2} = 9 + 4$

Этап 4

Составим полный квадрат для

$2 y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок

$2 y$ и

$y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y$

Этап 4.2

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.4

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 4.5

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим

$4$ на

$1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 4.5.2.1.3

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 4.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 4.5.2.2

Вычтем

$1$ из

$0$ .

$e = - 1$

Этап 4.6

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Этап 5

Подставим

${(y + 1)}^{2} - 1$ вместо

$2 y + y^{2}$ в уравнение

$x^{2} + 4 x + 2 y + y^{2} = 9$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 9 + 4$

Этап 6

Перенесем

$- 1$ в правую часть уравнения, прибавив

$1$ к обеим частям.

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9 + 4 + 1$

Этап 7

Упростим

$9 + 4 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим

$9$ и

$4$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 13 + 1$

Этап 7.2

Добавим

$13$ и

$1$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 14$

Введите СВОЮ задачу