Основы мат. анализа Примеры

f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для

2 x^{2} + 3 x - 4

$2 x^{2} + 3 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = 3

$b = 3$

c = - 4

$c = - 4$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

d = \frac{3}{4}

$d = \frac{3}{4}$

d = \frac{3}{4}

$d = \frac{3}{4}$

Этап 1.1.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 4 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 2}

$e = - 4 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = - 4 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

e = - 4 - \frac{9}{8}

$e = - 4 - \frac{9}{8}$

e = - 4 - \frac{9}{8}

$e = - 4 - \frac{9}{8}$

Этап 1.1.4.2.2

Чтобы записать

- 4

$- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

e = - 4 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Этап 1.1.4.2.3

Объединим

- 4

$- 4$ и

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} - \frac{9}{8}$

Этап 1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

e = \frac{- 4 \cdot 8 - 9}{8}

$e = \frac{- 4 \cdot 8 - 9}{8}$

Этап 1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.5.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

8

$8$ .

e = \frac{- 32 - 9}{8}

$e = \frac{- 32 - 9}{8}$

Этап 1.1.4.2.5.2

Вычтем

9

$9$ из

- 32

$- 32$ .

e = \frac{- 41}{8}

$e = \frac{- 41}{8}$

e = \frac{- 41}{8}

$e = \frac{- 41}{8}$

Этап 1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

e = - \frac{41}{8}

$e = - \frac{41}{8}$

Этап 1.1.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$ .

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

Этап 1.2

Приравняем

y

$y$ к новой правой части.

y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}

$y = 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{41}{8}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

a

$a$ ,

h

$h$ и

k

$k$ .

a = 2

$a = 2$

h = - \frac{3}{4}

$h = - \frac{3}{4}$

k = - \frac{41}{8}

$k = - \frac{41}{8}$

Этап 3

Найдем вершину

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

Этап 4

Введите СВОЮ задачу