Основы мат. анализа Примеры

f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Этап 1

Запишем

f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ в виде уравнения.

y = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Этап 2

Поскольку

x

$x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

7 - 3 x + 2 x^{2} = y

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Этап 3

Вычтем

7

$7$ из обеих частей уравнения.

- 3 x + 2 x^{2} = y - 7

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Этап 4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок

- 3 x

$- 3 x$ и

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

2 x^{2} - 3 x = y - 7

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Этап 4.2

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = - 3

$b = - 3$

c = 0 = y - 7

$c = 0 = y - 7$

Этап 4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e = y - 7

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Этап 4.4

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

d = \frac{- 3}{4}

$d = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

Этап 4.5

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем

- 3

$- 3$ в степень

2

$2$ .

e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

e = 0 - \frac{9}{8}

$e = 0 - \frac{9}{8}$

e = 0 - \frac{9}{8}

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Этап 4.5.2.2

Вычтем

\frac{9}{8}

$\frac{9}{8}$ из

0

$0$ .

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

Этап 4.6

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Этап 5

Перенесем все члены без

x

$x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим

\frac{9}{8}

$\frac{9}{8}$ к обеим частям уравнения.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Этап 5.2

Чтобы записать

- 7

$- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 5.3

Объединим

- 7

$- 7$ и

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим

- 7

$- 7$ на

8

$8$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Этап 5.5.2

Добавим

- 56

$- 56$ и

9

$9$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Этап 6

Разделим каждый член

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ на

2

$2$ .

\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим

${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ на

$1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.1.2

Умножим

$- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Умножим

$\frac{1}{2}$ на

$\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Этап 6.3.1.2.2

Умножим

$2$ на

$8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать

$\frac{y}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Этап 7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

$16$ , умножив на подходящий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим

$\frac{y}{2}$ на

$\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Этап 7.2.2

Умножим

$2$ на

$8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Этап 7.4

Перенесем

$8$ влево от

$y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

Введите СВОЮ задачу