Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ в виде уравнения.

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Этап 2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Этап 3

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Этап 4

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $- 3 x$ и $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Этап 4.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

Этап 4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Этап 4.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{4}$

Этап 4.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $\frac{9}{8}$ из $0$ .

$e = - \frac{9}{8}$

Этап 4.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{9}{8}$ к обеим частям уравнения.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Этап 5.2

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 5.3

Объединим $- 7$ и $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 7$ на $8$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Этап 5.5.2

Добавим $- 56$ и $9$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Этап 6

Разделим каждый член $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ на $2$ .

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ на $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6.3.1.2

Умножим $- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Этап 6.3.1.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Этап 7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{y}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Этап 7.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{y}{2}$ на $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Этап 7.4

Перенесем $8$ влево от $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

Введите СВОЮ задачу