Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Этап 1

Запишем $f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ в виде уравнения.

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $7 x^{2} + 5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 7$

$b = 5$

$c = - 4$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$d = \frac{5}{14}$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $7$ .

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Этап 2.1.4.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{28}{28}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Этап 2.1.4.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{28}{28}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Этап 2.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Этап 2.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.5.1

Умножим $- 4$ на $28$ .

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Этап 2.1.4.2.5.2

Вычтем $25$ из $- 112$ .

$e = \frac{- 137}{28}$

Этап 2.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{137}{28}$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 7$

$h = - \frac{5}{14}$

$k = - \frac{137}{28}$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{1}{28}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{5}{14}$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{69}{14}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Фокус: $(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{14}$

Директриса: $y = - \frac{69}{14}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу