Основы мат. анализа Примеры

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Этап 1

Запишем

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ в виде уравнения.

y = x^{2} - 10 x + 25

$y = x^{2} - 10 x + 25$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для

x^{2} - 10 x + 25

$x^{2} - 10 x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 10

$b = - 10$

c = 25

$c = 25$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель

- 10

$- 10$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

- 10

$- 10$ .

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{1}$

Этап 2.1.3.2.2.4

Разделим

$- 5$ на

$1$ .

$d = - 5$

Этап 2.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем

$- 10$ в степень

$2$ .

$e = 25 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим

$4$ на

$1$ .

$e = 25 - \frac{100}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Разделим

$100$ на

$4$ .

$e = 25 - 1 \cdot 25$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$25$ .

$e = 25 - 25$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем

$25$ из

$25$ .

$e = 0$

Этап 2.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

${(x - 5)}^{2} + 0$ .

${(x - 5)}^{2} + 0$

Этап 2.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = {(x - 5)}^{2} + 0$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = 1$

$h = 5$

$k = 0$

Этап 4

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(5, 0)$

Этап 6

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(5, \frac{1}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 5$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(5, 0)$

Фокус:

$(5, \frac{1}{4})$

Ось симметрии:

$x = 5$

Директриса:

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу