Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} + 6 x - 36$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} + 6 x - 36$ в виде уравнения.

$y = x^{2} + 6 x - 36$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 6 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = - 36$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 2.1.3.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 36 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = - 36 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - 36 - \frac{36}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Разделим $36$ на $4$ .

$e = - 36 - 1 \cdot 9$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = - 36 - 9$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $9$ из $- 36$ .

$e = - 45$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 3)}^{2} - 45$ .

${(x + 3)}^{2} - 45$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + 3)}^{2} - 45$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = - 45$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, - 45)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 3, - \frac{179}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 3$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{181}{4}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 3, - 45)$

Фокус: $(- 3, - \frac{179}{4})$

Ось симметрии: $x = - 3$

Директриса: $y = - \frac{181}{4}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу