Основы мат. анализа Примеры

(2, 3)

$(2, 3)$ ,

(- 1, - 5)

$(- 1, - 5)$

Этап 1

Общее уравнение параболы с вершиной

(h, k)

$(h, k)$ :

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ . В данном случае у нас есть точка

(2, 3)

$(2, 3)$ в качестве вершины

(h, k)

$(h, k)$ и точка

(- 1, - 5)

$(- 1, - 5)$ , которая является точкой

(x, y)

$(x, y)$ на параболе. Чтобы найти

a

$a$ , подставим эти две точки в

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

Этап 2

Использование

- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ для решения относительно

a

$a$ ,

a = - \frac{8}{9}

$a = - \frac{8}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде

a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ .

a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2.2

Вычтем

2

$2$ из

- 1

$- 1$ .

a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

Этап 2.2.3

Возведем

- 3

$- 3$ в степень

2

$2$ .

a \cdot 9 + 3 = - 5

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

Этап 2.2.4

Перенесем

9

$9$ влево от

a

$a$ .

9 a + 3 = - 5

$9 a + 3 = - 5$

9 a + 3 = - 5

$9 a + 3 = - 5$

Этап 2.3

Перенесем все члены без

a

$a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

9 a = - 5 - 3

$9 a = - 5 - 3$

Этап 2.3.2

Вычтем

3

$3$ из

- 5

$- 5$ .

9 a = - 8

$9 a = - 8$

9 a = - 8

$9 a = - 8$

Этап 2.4

Разделим каждый член

9 a = - 8

$9 a = - 8$ на

9

$9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член

9 a = - 8

$9 a = - 8$ на

9

$9$ .

\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель

9

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим

$a$ на

$1$ .

$a = \frac{- 8}{9}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{8}{9}$

Этап 3

Использование

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , общее уравнение параболы с вершиной

$(2, 3)$ и

$a = - \frac{8}{9}$ :

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4

Решим

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.2

Умножим

$- \frac{8}{9}$ на

${(x - (2))}^{2}$ .

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.3

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 4.4

Упростим

$(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 4.4.1.2

Перепишем

${(x - 2)}^{2}$ в виде

$(x - 2) (x - 2)$ .

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3

Развернем

$(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Этап 4.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4.1.2

Перенесем

$- 2$ влево от

$x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Этап 4.4.1.4.1.3

Умножим

$- 2$ на

$- 2$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Этап 4.4.1.4.2

Вычтем

$2 x$ из

$- 2 x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Этап 4.4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.1

Объединим

$x^{2}$ и

$\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2

Умножим

$- \frac{8}{9} (- 4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.2.1

Умножим

$- 4$ на

$- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.2

Объединим

$4$ и

$\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.3

Умножим

$4$ на

$8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.2.4

Объединим

$\frac{32}{9}$ и

$x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Этап 4.4.1.6.3

Умножим

$- \frac{8}{9} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.6.3.1

Умножим

$4$ на

$- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

Этап 4.4.1.6.3.2

Объединим

$- 4$ и

$\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

Этап 4.4.1.6.3.3

Умножим

$- 4$ на

$8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Этап 4.4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.7.1

Перенесем

$8$ влево от

$x^{2}$ .

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Этап 4.4.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

Этап 4.4.2

Чтобы записать

$3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 4.4.3

Объединим

$3$ и

$\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим

$3$ на

$9$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

Этап 4.4.5.2

Добавим

$- 32$ и

$27$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Этап 4.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

Этап 5

Уравнение в стандартной форме и уравнение с заданной вершиной имеют следующий вид.

Стандартная форма:

$y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Форма с выделенной вершиной:

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Этап 6

Упростим стандартную форму.

Стандартная форма:

$y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Форма с выделенной вершиной:

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Этап 7

Введите СВОЮ задачу