Основы мат. анализа Примеры

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ ,

(1, 2)

$(1, 2)$

Этап 1

Диаметр круга — это отрезок любой прямой, проходящей через центр круга, концы которого находятся на окружности круга. Даны координаты конечных точек диаметра:

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ и

(1, 2)

$(1, 2)$ . Центр круга расположен в середине диаметра и является средней точкой между

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ и

(1, 2)

$(1, 2)$ . В данном случае средняя точка имеет координаты

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу медианы, чтобы найти середину отрезка прямой.

(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Этап 1.2

Подставим значения вместо

(x_{1}, y_{1})

$(x_{1}, y_{1})$ и

(x_{2}, y_{2})

$(x_{2}, y_{2})$ .

(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})

$(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.3

Добавим

- 1

$- 1$ и

1

$1$ .

(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})

$(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.4

Разделим

0

$0$ на

2

$2$ .

(0, \frac{- 1 + 2}{2})

$(0, \frac{- 1 + 2}{2})$

Этап 1.5

Добавим

- 1

$- 1$ и

2

$2$ .

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$

Этап 2

Найдем радиус

r

$r$ окружности. Радиус — это отрезок прямой между центром окружности и любой ее точкой. В данном случае,

r

$r$ — это расстояние между

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ и

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем

0

$0$ из

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Чтобы записать

- 1

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим

- 1

$- 1$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Вычтем

1

$1$ из

- 2

$- 2$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Применим правило степени

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим правило умножения к

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8.2

Применим правило умножения к

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.9

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Этап 2.3.10

Умножим

\frac{3^{2}}{2^{2}}

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на

1

$1$ .

r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}

$r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 2.3.11

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}$

Этап 2.3.12

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}$

Этап 2.3.13

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}

$r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}$

Этап 2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}

$r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}$

Этап 2.3.15

Добавим

4

$4$ и

9

$9$ .

r = \sqrt{\frac{13}{4}}

$r = \sqrt{\frac{13}{4}}$

Этап 2.3.16

Перепишем

\sqrt{\frac{13}{4}}

$\sqrt{\frac{13}{4}}$ в виде

\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$ .

r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.3.17

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.3.17.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 3

{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ — форма уравнения окружности с радиусом

r

$r$ и центральной точкой

(h, k)

$(h, k)$ . В этом случае

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$ и центральная точка —

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ . Уравнение окружности:

{(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$ .

{(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$

Этап 4

Уравнение окружности имеет вид

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ .

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Этап 5

Упростим уравнение окружности.

x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

$x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу