Основы мат. анализа Примеры

\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}

$\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим

x^{2} - x - 2

$x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 2

$- 2$ , а сумма —

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место

A

$A$ .

\frac{A}{x - 2}

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 1.3

B

$B$ .

\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен

(x - 2) (x + 1)

$(x - 2) (x + 1)$ .

\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель

x - 2

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель

$x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Разделим

$5 x - 4$ на

$1$ .

$5 x - 4 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель

$x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x - 4 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.1.2

Разделим

$(A) (x + 1)$ на

$1$ .

$5 x - 4 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 4 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.3

Умножим

$A$ на

$1$ .

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель

$x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7.4.2

Разделим

$(B) (x - 2)$ на

$1$ .

$5 x - 4 = A x + A + (B) (x - 2)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 4 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Этап 1.7.6

Перенесем

$- 2$ влево от

$B$ .

$5 x - 4 = A x + A + B x - 2 B$

Этап 1.8

Перенесем

$A$ .

$5 x - 4 = A x + B x + A - 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты

$x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих

$x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = A - 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно

$A$ в

$5 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде

$A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 4 = A - 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем

$B$ из обеих частей уравнения.

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения

$A$ на

$5 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения

$A$ в

$- 4 = A - 2 B$ на

$5 - B$ .

$- 4 = (5 - B) - 2 B$

$A = 5 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем

$2 B$ из

$- B$ .

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

Этап 3.3

Решим относительно

$B$ в

$- 4 = 5 - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде

$5 - 3 B = - 4$ .

$5 - 3 B = - 4$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без

$B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем

$5$ из обеих частей уравнения.

$- 3 B = - 4 - 5$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем

$5$ из

$- 4$ .

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член

$- 3 B = - 9$ на

$- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член

$- 3 B = - 9$ на

$- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель

$- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим

$B$ на

$1$ .

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим

$- 9$ на

$- 3$ .

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения

$B$ на

$3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения

$B$ в

$A = 5 - B$ на

$3$ .

$A = 5 - (3)$

$B = 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим

$5 - (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$A = 5 - 3$

$B = 3$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем

$3$ из

$5$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для

$A$ и

$B$ .

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}$

Введите СВОЮ задачу