Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x}{(x - 2) (x + 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $6 x$ на $1$ .

$6 x = \frac{(A) (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x = \frac{A (x - 2) (x + 2)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$6 x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$6 x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$6 x = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 2) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x - 2)$ на $1$ .

$6 x = A x + 2 A + (B) (x - 2)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x = A x + 2 A + B x + B \cdot - 2$

Этап 1.6.6

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$6 x = A x + 2 A + B x - 2 B$

Этап 1.7

Перенесем $2 A$ .

$6 x = A x + B x + 2 A - 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A - 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B$

$6 = A + B$

$0 = 2 A - 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $6 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$0 = 2 A - 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 6 - B$

$0 = 2 A - 2 B$

$A = 6 - B$

$0 = 2 A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $6 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A - 2 B$ на $6 - B$ .

$0 = 2 (6 - B) - 2 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (6 - B) - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 2 \cdot 6 + 2 (- B) - 2 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $6$ .

$0 = 12 + 2 (- B) - 2 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 = 12 - 2 B - 2 B$

$A = 6 - B$

$0 = 12 - 2 B - 2 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- 2 B$ .

$0 = 12 - 4 B$

$A = 6 - B$

$0 = 12 - 4 B$

$A = 6 - B$

$0 = 12 - 4 B$

$A = 6 - B$

$0 = 12 - 4 B$

$A = 6 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 12 - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $12 - 4 B = 0$ .

$12 - 4 B = 0$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 4 B = - 12$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 4 B = - 12$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 4 B = - 12$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 12}{- 4}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 12}{- 4}$

$A = 6 - B$

$B = \frac{- 12}{- 4}$

$A = 6 - B$

$B = \frac{- 12}{- 4}$

$A = 6 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $- 12$ на $- 4$ .

$B = 3$

$A = 6 - B$

$B = 3$

$A = 6 - B$

$B = 3$

$A = 6 - B$

$B = 3$

$A = 6 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 6 - B$ на $3$ .

$A = 6 - (3)$

$B = 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $6 - (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$A = 6 - 3$

$B = 3$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$A = 3$

$B = 3$

$A = 3$

$B = 3$

$A = 3$

$B = 3$

$A = 3$

$B = 3$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{x - 2} + \frac{3}{x + 2}$

Введите СВОЮ задачу