Основы мат. анализа Примеры

y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разложим

x^{2} + 3 x - 4

$x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 4

$- 4$ , а сумма —

3

$3$ .

- 1, 4

$- 1, 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Разложим

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 1

$b = 1$ .

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3

Сократим общий множитель

x - 1

$x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

y = \frac{x + 4}{x + 1}

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

y = \frac{x + 4}{x + 1}

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

Этап 4

Чтобы найти точки разрыва, рассмотрим в знаменателе множители, которые были сокращены.

x - 1

$x - 1$

Этап 5

Чтобы найти координаты точек разрыва, приравняем все сокращенные множители к

0

$0$ , решим и подставим найденные значения обратно в

\frac{x + 4}{x + 1}

$\frac{x + 4}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

x - 1

$x - 1$ к

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

x = 1

$x = 1$

Этап 5.3

Подставим

1

$1$ вместо

x

$x$ в

\frac{x + 4}{x + 1}

$\frac{x + 4}{x + 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим

1

$1$ вместо

x

$x$ , чтобы найти

y

$y$ -координату разрыва.

\frac{1 + 4}{1 + 1}

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим

1

$1$ и

4

$4$ .

\frac{5}{1 + 1}

$\frac{5}{1 + 1}$

Этап 5.3.2.2

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$

Этап 5.4

Разрывы в графике — точки, в которых любой из сокращенных множителей равен

0

$0$ .

(1, \frac{5}{2})

$(1, \frac{5}{2})$

(1, \frac{5}{2})

$(1, \frac{5}{2})$

Этап 6

Введите СВОЮ задачу