Основы мат. анализа Примеры
f(x)=x2+8x-4f(x)=x2+8x−4 , x=4x=4
Этап 1
Рассмотрим формулу для отношений приращений.
f(x+h)-f(x)hf(x+h)−f(x)h
Этап 2
Этап 2.1
Найдем значение функции в x=x+hx=x+h.
Этап 2.1.1
Заменим в этом выражении переменную xx на x+hx+h.
f(x+h)=(x+h)2+8(x+h)-4f(x+h)=(x+h)2+8(x+h)−4
Этап 2.1.2
Упростим результат.
Этап 2.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.1.1
Перепишем (x+h)2(x+h)2 в виде (x+h)(x+h)(x+h)(x+h).
f(x+h)=(x+h)(x+h)+8(x+h)-4f(x+h)=(x+h)(x+h)+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.2
Развернем (x+h)(x+h)(x+h)(x+h), используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 2.1.2.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
f(x+h)=x(x+h)+h(x+h)+8(x+h)-4f(x+h)=x(x+h)+h(x+h)+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
f(x+h)=x⋅x+xh+h(x+h)+8(x+h)-4f(x+h)=x⋅x+xh+h(x+h)+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h+8(x+h)-4f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h+8(x+h)−4
f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h+8(x+h)-4f(x+h)=x⋅x+xh+hx+h⋅h+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.3
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 2.1.2.1.3.1
Упростим каждый член.
Этап 2.1.2.1.3.1.1
Умножим xx на xx.
f(x+h)=x2+xh+hx+h⋅h+8(x+h)-4f(x+h)=x2+xh+hx+h⋅h+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.3.1.2
Умножим hh на hh.
f(x+h)=x2+xh+hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+xh+hx+h2+8(x+h)−4
f(x+h)=x2+xh+hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+xh+hx+h2+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.3.2
Добавим xhxh и hxhx.
Этап 2.1.2.1.3.2.1
Изменим порядок xx и hh.
f(x+h)=x2+hx+hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+hx+hx+h2+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.3.2.2
Добавим hxhx и hxhx.
f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)−4
f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)−4
f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)-4f(x+h)=x2+2hx+h2+8(x+h)−4
Этап 2.1.2.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
f(x+h)=x2+2hx+h2+8x+8h-4f(x+h)=x2+2hx+h2+8x+8h−4
f(x+h)=x2+2hx+h2+8x+8h-4f(x+h)=x2+2hx+h2+8x+8h−4
Этап 2.1.2.2
Окончательный ответ: x2+2hx+h2+8x+8h-4x2+2hx+h2+8x+8h−4.
x2+2hx+h2+8x+8h-4x2+2hx+h2+8x+8h−4
x2+2hx+h2+8x+8h-4x2+2hx+h2+8x+8h−4
x2+2hx+h2+8x+8h-4x2+2hx+h2+8x+8h−4
Этап 2.2
Упорядочим.
Этап 2.2.1
Перенесем 8x8x.
x2+2hx+h2+8h+8x-4x2+2hx+h2+8h+8x−4
Этап 2.2.2
Перенесем x2x2.
2hx+h2+x2+8h+8x-42hx+h2+x2+8h+8x−4
Этап 2.2.3
Изменим порядок 2hx2hx и h2h2.
h2+2hx+x2+8h+8x-4h2+2hx+x2+8h+8x−4
h2+2hx+x2+8h+8x-4h2+2hx+x2+8h+8x−4
Этап 2.3
Найдем компоненты определения.
f(x+h)=h2+2hx+x2+8h+8x-4f(x+h)=h2+2hx+x2+8h+8x−4
f(x)=x2+8x-4f(x)=x2+8x−4
f(x+h)=h2+2hx+x2+8h+8x-4f(x+h)=h2+2hx+x2+8h+8x−4
f(x)=x2+8x-4f(x)=x2+8x−4
Этап 3
Подставим компоненты.
f(x+h)-f(x)h=h2+2hx+x2+8h+8x-4-(x2+8x-4)hf(x+h)−f(x)h=h2+2hx+x2+8h+8x−4−(x2+8x−4)h
Этап 4
Этап 4.1
Упростим числитель.
Этап 4.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
h2+2hx+x2+8h+8x-4-x2-(8x)--4hh2+2hx+x2+8h+8x−4−x2−(8x)−−4h
Этап 4.1.2
Упростим.
Этап 4.1.2.1
Умножим 88 на -1−1.
h2+2hx+x2+8h+8x-4-x2-8x--4hh2+2hx+x2+8h+8x−4−x2−8x−−4h
Этап 4.1.2.2
Умножим -1−1 на -4−4.
h2+2hx+x2+8h+8x-4-x2-8x+4hh2+2hx+x2+8h+8x−4−x2−8x+4h
h2+2hx+x2+8h+8x-4-x2-8x+4hh2+2hx+x2+8h+8x−4−x2−8x+4h
Этап 4.1.3
Вычтем x2x2 из x2x2.
h2+2hx+8h+8x-4+0-8x+4hh2+2hx+8h+8x−4+0−8x+4h
Этап 4.1.4
Добавим h2h2 и 00.
h2+2hx+8h+8x-4-8x+4hh2+2hx+8h+8x−4−8x+4h
Этап 4.1.5
Вычтем 8x8x из 8x8x.
h2+2hx+8h+0-4+4hh2+2hx+8h+0−4+4h
Этап 4.1.6
Добавим h2h2 и 00.
h2+2hx+8h-4+4hh2+2hx+8h−4+4h
Этап 4.1.7
Добавим -4−4 и 44.
h2+2hx+8h+0hh2+2hx+8h+0h
Этап 4.1.8
Добавим h2+2hx+8hh2+2hx+8h и 00.
h2+2hx+8hhh2+2hx+8hh
Этап 4.1.9
Вынесем множитель hh из h2+2hx+8hh2+2hx+8h.
Этап 4.1.9.1
Вынесем множитель hh из h2h2.
h⋅h+2hx+8hhh⋅h+2hx+8hh
Этап 4.1.9.2
Вынесем множитель hh из 2hx2hx.
h(h)+h(2x)+8hhh(h)+h(2x)+8hh
Этап 4.1.9.3
Вынесем множитель hh из 8h8h.
h(h)+h(2x)+h⋅8hh(h)+h(2x)+h⋅8h
Этап 4.1.9.4
Вынесем множитель hh из h(h)+h(2x)h(h)+h(2x).
h(h+2x)+h⋅8hh(h+2x)+h⋅8h
Этап 4.1.9.5
Вынесем множитель hh из h(h+2x)+h⋅8h(h+2x)+h⋅8.
h(h+2x+8)hh(h+2x+8)h
h(h+2x+8)hh(h+2x+8)h
h(h+2x+8)hh(h+2x+8)h
Этап 4.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 4.2.1
Сократим общий множитель hh.
Этап 4.2.1.1
Сократим общий множитель.
h(h+2x+8)h
Этап 4.2.1.2
Разделим h+2x+8 на 1.
h+2x+8
h+2x+8
Этап 4.2.2
Изменим порядок h и 2x.
2x+h+8
2x+h+8
2x+h+8
Этап 5
Заменим в этом выражении переменную x на 4.
2(4)+h+8
Этап 6
Умножим 2 на 4.
8+h+8
Этап 7
Добавим 8 и 8.
h+16
Этап 8