Основы мат. анализа Примеры

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ ,

x = 0

$x = 0$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в

x = x + h

$x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2}

$f (x + h) = {(x + h)}^{2}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ в виде

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h)

$f (x + h) = (x + h) (x + h)$

Этап 2.1.2.2

Развернем

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим

h

$h$ на

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим

x h

$x h$ и

h x

$h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок

x

$x$ и

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим

h x

$h x$ и

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ:

x^{2} + 2 h x + h^{2}

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2}

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

x^{2} + 2 h x + h^{2}

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

x^{2} + 2 h x + h^{2}

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2}

$2 h x + h^{2} + x^{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок

2 h x

$2 h x$ и

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2}

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

h^{2} + 2 h x + x^{2}

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$

Этап 3

Подставим компоненты.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Этап 4.1.2

Добавим

h^{2} + 2 h x

$h^{2} + 2 h x$ и

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2} + 2 h x

$h^{2} + 2 h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2}

$h^{2}$ .

\frac{h \cdot h + 2 h x}{h}

$\frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель

h

$h$ из

2 h x

$2 h x$ .

\frac{h (h) + h (2 x)}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель

h

$h$ из

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

\frac{h (h + 2 x)}{h}

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

\frac{h (h + 2 x)}{h}

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

\frac{h (h + 2 x)}{h}

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

h

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{h (h + 2 x)}{h}

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим

h + 2 x

$h + 2 x$ на

1

$1$ .

h + 2 x

$h + 2 x$

h + 2 x

$h + 2 x$

Этап 4.2.2

Изменим порядок

h

$h$ и

2 x

$2 x$ .

2 x + h

$2 x + h$

2 x + h

$2 x + h$

2 x + h

$2 x + h$

Этап 5

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

0

$0$ .

2 (0) + h

$2 (0) + h$

Этап 6

Умножим

2

$2$ на

0

$0$ .

0 + h

$0 + h$

Этап 7

Добавим

0

$0$ и

h

$h$ .

h

$h$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу