Основы мат. анализа Примеры

f (x) = x^{2} + 8 x - 4

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$ ,

x = 4

$x = 4$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в

x = x + h

$x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

x + h

$x + h$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Перепишем

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ в виде

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2

Развернем

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.1.1

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.1.2

Умножим

h

$h$ на

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.2

Добавим

x h

$x h$ и

h x

$h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.3.2.1

Изменим порядок

x

$x$ и

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.3.2.2

Добавим

h x

$h x$ и

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 (x + h) - 4$

Этап 2.1.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

Этап 2.1.2.2

Окончательный ответ:

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 x + 8 h - 4$

Этап 2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем

8 x

$8 x$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 h + 8 x - 4

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Этап 2.2.2

Перенесем

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 8 h + 8 x - 4

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Этап 2.2.3

Изменим порядок

2 h x

$2 h x$ и

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

Этап 2.3

Найдем компоненты определения.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

f (x) = x^{2} + 8 x - 4

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4$

f (x) = x^{2} + 8 x - 4

$f (x) = x^{2} + 8 x - 4$

Этап 3

Подставим компоненты.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - (x^{2} + 8 x - 4)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - (x^{2} + 8 x - 4)}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - (8 x) - - 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - (8 x) - - 4}{h}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

8

$8$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x - - 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x - - 4}{h}$

Этап 4.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 4

$- 4$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x + 4}{h}$

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 8 h + 8 x - 4 - x^{2} - 8 x + 4}{h}$

Этап 4.1.3

Вычтем

x^{2}

$x^{2}$ из

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 + 0 - 8 x + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 + 0 - 8 x + 4}{h}$

Этап 4.1.4

Добавим

h^{2}

$h^{2}$ и

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 - 8 x + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 8 x - 4 - 8 x + 4}{h}$

Этап 4.1.5

Вычтем

8 x

$8 x$ из

8 x

$8 x$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0 - 4 + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Этап 4.1.6

Добавим

h^{2}

$h^{2}$ и

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h - 4 + 4}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h - 4 + 4}{h}$

Этап 4.1.7

Добавим

- 4

$- 4$ и

4

$4$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h + 0}{h}$

Этап 4.1.8

Добавим

h^{2} + 2 h x + 8 h

$h^{2} + 2 h x + 8 h$ и

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 8 h}{h}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2} + 2 h x + 8 h

$h^{2} + 2 h x + 8 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Вынесем множитель

h

$h$ из

h^{2}

$h^{2}$ .

\frac{h \cdot h + 2 h x + 8 h}{h}

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 8 h}{h}$

Этап 4.1.9.2

Вынесем множитель

h

$h$ из

2 h x

$2 h x$ .

\frac{h (h) + h (2 x) + 8 h}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + 8 h}{h}$

Этап 4.1.9.3

Вынесем множитель

h

$h$ из

8 h

$8 h$ .

\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 8}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 8}{h}$

Этап 4.1.9.4

Вынесем множитель

h

$h$ из

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 8}{h}

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Этап 4.1.9.5

Вынесем множитель

h

$h$ из

h (h + 2 x) + h \cdot 8

$h (h + 2 x) + h \cdot 8$ .

\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

Этап 4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

h

$h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{h}$

Этап 4.2.1.2

Разделим

$h + 2 x + 8$ на

$1$ .

$h + 2 x + 8$

Этап 4.2.2

Изменим порядок

$h$ и

$2 x$ .

$2 x + h + 8$

Этап 5

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$2 (4) + h + 8$

Этап 6

Умножим

$2$ на

$4$ .

$8 + h + 8$

Этап 7

Добавим

$8$ и

$8$ .

$h + 16$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу