Примеры

$\frac{4 - y}{(y + 4) (y + 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y + 4}$

Этап 1.2

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y + 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y + 4) (y + 2)$ .

$\frac{(4 - y) (y + 4) (y + 2)}{(y + 4) (y + 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 - y) (y + 4) (y + 2)}{(y + 4) (y + 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 - y) (y + 2)}{y + 2} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 - y) (y + 2)}{y + 2} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $4 - y$ на $1$ .

$4 - y = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.6

Изменим порядок $4$ и $- y$ .

$- y + 4 = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$- y + 4 = \frac{A (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (y + 2)$ на $1$ .

$- y + 4 = (A) (y + 2) + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + 4 = A y + A \cdot 2 + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$- y + 4 = A y + 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- y + 4 = A y + 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (y + 4)$ на $1$ .

$- y + 4 = A y + 2 A + (B) (y + 4)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + 4 = A y + 2 A + B y + B \cdot 4$

Этап 1.7.6

Перенесем $4$ влево от $B$ .

$- y + 4 = A y + 2 A + B y + 4 B$

Этап 1.8

Перенесем $2 A$ .

$- y + 4 = A y + B y + 2 A + 4 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = 2 A + 4 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 1 = A + B$

$4 = 2 A + 4 B$

$- 1 = A + B$

$4 = 2 A + 4 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = - 1$ .

$A + B = - 1$

$4 = 2 A + 4 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - 1 - B$

$4 = 2 A + 4 B$

$A = - 1 - B$

$4 = 2 A + 4 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = 2 A + 4 B$ на $- 1 - B$ .

$4 = 2 (- 1 - B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- 1 - B) + 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 2 \cdot - 1 + 2 (- B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 = - 2 + 2 (- B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 = - 2 - 2 B + 4 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 - 2 B + 4 B$

$A = - 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 2 B$ и $4 B$ .

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $4 = - 2 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + 2 B = 4$ .

$- 2 + 2 B = 4$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 4 + 2$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$2 B = 6$

$A = - 1 - B$

$2 B = 6$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 6$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - 1 - B$ на $3$ .

$A = - 1 - (3)$

$B = 3$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 1 - (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$A = - 1 - 3$

$B = 3$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = - 4, B = 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 4}{y + 4} + \frac{3}{y + 2}$

Введите СВОЮ задачу