Примеры

$\frac{i + 1}{5 i - 1}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{i + 1}{- 1 + 5 i}$ на комплексно сопряженное $- 1 + 5 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{i + 1}{- 1 + 5 i} \cdot \frac{- 1 - 5 i}{- 1 - 5 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(i + 1) (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(i + 1) (- 1 - 5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i (- 1 - 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 (- 1 - 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i \cdot - 1 + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$\frac{- 1 \cdot i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{- i + i (- 5 i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $i (- 5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- i - 5 (i^{1} i^{1}) + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- i - 5 i^{1 + 1} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- i - 5 i^{2} + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- i - 5 \cdot - 1 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{- i + 5 + 1 \cdot - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 + 1 (- 5 i)}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.1.7

Умножим $- 5 i$ на $1$ .

$\frac{- i + 5 - 1 - 5 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $5 i$ из $- i$ .

$\frac{5 - 1 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(- 1 + 5 i) (- 1 - 5 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 (- 1 - 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i (- 1 - 5 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 6 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 1 (- 5 i) + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i + 5 i \cdot - 1 + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i + 5 i (- 5 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 5 i - 5 i - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем $5 i$ из $5 i$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 0 - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 - 25 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 25$ на $- 1$ .

$\frac{4 - 6 i}{1 + 25}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $25$ .

$\frac{4 - 6 i}{26}$

Этап 3

Сократим общий множитель $4 - 6 i$ и $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) - 6 i}{26}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 i$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- 3 i)}{26}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- 3 i)$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{26}$

Этап 3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 - 3 i)}{2 \cdot 13}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - 3 i}{13}$

Этап 4

Разобьем дробь $\frac{2 - 3 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{2}{13} + \frac{- 3 i}{13}$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{13} - \frac{3 i}{13}$

Введите СВОЮ задачу