Примеры

${(z - 3)}^{4} = 2 i$

Этап 1

Подставим

$u$ вместо

$z - 3$ .

$u^{4} = 2 i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

$| z |$ — модуль, а

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

$z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения

$a = 0$ и

$b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 2$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и

$b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен

$\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 8

Подставим значения

$θ = \frac{π}{2}$ и

$| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$u^{4} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 10

Используем формулу Муавра, чтобы найти уравнение для

$u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 11

Приравняем модуль тригонометрической формы к

$r^{4}$ , чтобы найти значение

$r$ .

$r^{4} = 2$

Этап 12

Решим уравнение относительно

$r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{2}$

Этап 12.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$r = \sqrt[4]{2}$

Этап 12.2.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \sqrt[4]{2}$

Этап 12.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Этап 13

Найдем приблизительное значение

$r$ .

$r = 1.18920711$

Этап 14

Найдем возможные значения

$θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ и

$s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Этап 15

Нахождение всех возможных значений

$θ$ приводит к уравнению

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 16

Найдем значение

$θ$ для

$r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 17

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Умножим

$0$ на

$2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Этап 17.1.1.2

Умножим

$0$ на

$π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Этап 17.1.2

Добавим

$\frac{π}{2}$ и

$0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Этап 17.2

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{π}{2}$ на

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{π}{2}$ на

$4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 17.2.3.2

Умножим

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.2.1

Умножим

$\frac{π}{2}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 17.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Этап 18

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{4} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Точное значение

$\cos (\frac{π}{8})$ :

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.1

Представим

$\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.4

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5

Упростим

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.1

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.4

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.4.1

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.4.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.5

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.6.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.2

Точное значение

$\sin (\frac{π}{8})$ :

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.1

Представим

$\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Этап 19.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 19.1.2.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 19.1.2.4

Упростим

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.1

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 19.1.2.4.5

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.5.1

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 19.1.2.4.5.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Этап 19.1.2.4.6

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 19.1.2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.7.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 19.1.2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 19.1.3

Объединим

$i$ и

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 19.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 19.2.2

Объединим

$1.18920711$ и

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 19.2.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Этап 19.3

Разделим дроби.

$u_{0} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

Этап 19.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Разделим

$1.18920711$ на

$2$ .

$u_{0} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

Этап 19.4.2

Разделим

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ на

$1$ .

$u_{0} = 0.59460355 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 19.5

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{0} = 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 19.6

Умножим

$0.59460355$ на

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{0} = 1.09868411 + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 19.7

Умножим

$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ на

$0.59460355$ .

$u_{0} = 1.09868411 + 0.45508986 i$

Этап 20

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{0} = 3 + 1.09868411 + 0.45508986 i$

Этап 21

Найдем значение

$θ$ для

$r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Этап 22

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 22.1.2

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 22.1.3

Объединим

$2 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.5

Умножим

$2$ на

$2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Этап 22.1.6

Добавим

$π$ и

$4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Этап 22.2

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ на

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ на

$4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 22.2.3.2

Умножим

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.2.1

Умножим

$\frac{5 π}{2}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Этап 22.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Этап 23

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{4} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Точное значение

$\cos (\frac{5 π}{8})$ :

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.1

Представим

$\frac{5 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.3

Заменим

$\pm$ на

$-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4

Упростим

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.3

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.6

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.6.1

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.6.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.7

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.8.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.2

Точное значение

$\sin (\frac{5 π}{8})$ :

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.1

Представим

$\frac{5 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Этап 24.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Этап 24.1.2.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Этап 24.1.2.4

Упростим

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.1

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 24.1.2.4.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.3

Умножим

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Этап 24.1.2.4.3.2

Умножим

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ на

$1$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 24.1.2.4.7

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.7.1

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 24.1.2.4.7.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Этап 24.1.2.4.8

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 24.1.2.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.9.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 24.1.2.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 24.1.3

Объединим

$i$ и

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 24.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 24.2.2

Объединим

$1.18920711$ и

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 24.2.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Этап 24.3

Разделим дроби.

$u_{1} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

Этап 24.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1

Разделим

$1.18920711$ на

$2$ .

$u_{1} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

Этап 24.4.2

Разделим

$- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ на

$1$ .

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 24.5

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 24.6

Умножим

$0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.6.1

Умножим

$- 1$ на

$0.59460355$ .

$u_{1} = - 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 24.6.2

Умножим

$- 0.59460355$ на

$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = - 0.45508986 + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 24.7

Умножим

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ на

$0.59460355$ .

$u_{1} = - 0.45508986 + 1.09868411 i$

Этап 25

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{1} = 3 - 0.45508986 + 1.09868411 i$

Этап 26

Найдем значение

$θ$ для

$r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Этап 27

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1.1

Умножим

$2$ на

$2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Этап 27.1.2

Чтобы записать

$4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 27.1.3

Объединим

$4 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.5

Умножим

$2$ на

$4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Этап 27.1.6

Добавим

$π$ и

$8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Этап 27.2

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ на

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ на

$4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 27.2.3.2

Умножим

$\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.2.1

Умножим

$\frac{9 π}{2}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Этап 27.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Этап 28

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{4} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1

Точное значение

$\cos (\frac{9 π}{8})$ :

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.1

Представим

$\frac{9 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.3

Заменим

$\pm$ на

$-$ , так как косинус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4

Упростим

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.1

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.3

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.6

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.6.1

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.6.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.7

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.8.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.2

Точное значение

$\sin (\frac{9 π}{8})$ :

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.1

Представим

$\frac{9 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Этап 29.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.3

Заменим

$\pm$ на

$-$ , так как синус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.4

Упростим

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.1

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.2

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.3

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.6

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.6.1

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Этап 29.1.2.4.6.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Этап 29.1.2.4.7

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 29.1.2.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.8.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 29.1.2.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 29.1.3

Объединим

$i$ и

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 29.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 29.2.2

Объединим

$1.18920711$ и

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 29.2.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Этап 29.3

Разделим дроби.

$u_{2} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

Этап 29.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.4.1

Разделим

$1.18920711$ на

$2$ .

$u_{2} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

Этап 29.4.2

Разделим

$- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ на

$1$ .

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 29.5

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}}) + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 29.6

Умножим

$0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.6.1

Умножим

$- 1$ на

$0.59460355$ .

$u_{2} = - 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 29.6.2

Умножим

$- 0.59460355$ на

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = - 1.09868411 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 29.7

Умножим

$0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.7.1

Умножим

$- 1$ на

$0.59460355$ .

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Этап 29.7.2

Умножим

$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ на

$- 0.59460355$ .

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.45508986 i$

Этап 30

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{2} = 3 - 1.09868411 - 0.45508986 i$

Этап 31

Найдем значение

$θ$ для

$r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Этап 32

Решим уравнение относительно

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1.1

Умножим

$3$ на

$2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Этап 32.1.2

Чтобы записать

$6 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 32.1.3

Объединим

$6 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Этап 32.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Этап 32.1.5

Умножим

$2$ на

$6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Этап 32.1.6

Добавим

$π$ и

$12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Этап 32.2

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ на

$4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.1

Разделим каждый член

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ на

$4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1

Сократим общий множитель

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.2.1.2

Разделим

$θ$ на

$1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 32.2.3.2

Умножим

$\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.2.1

Умножим

$\frac{13 π}{2}$ на

$\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Этап 32.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Этап 33

Используем значения

$θ$ и

$r$ , чтобы найти решение уравнения

$u^{4} = 2 i$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1

Точное значение

$\cos (\frac{13 π}{8})$ :

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.1

Представим

$\frac{13 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ , так как косинус принимает положительные значения в четвертом квадранте.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4

Упростим

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.1

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.2

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.3

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.4

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.7

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.7.1

Умножим

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.7.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.8

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.9.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.2

Точное значение

$\sin (\frac{13 π}{8})$ :

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.1

Представим

$\frac{13 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на

$2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Этап 34.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.3

Заменим

$\pm$ на

$-$ , так как синус принимает отрицательные значения в четвертом квадранте.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4

Упростим

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.1

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.2

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.3

Точное значение

$\cos (\frac{π}{4})$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.4

Умножим

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.4.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.4.2

Умножим

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ на

$1$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.5

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.8

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.8.1

Умножим

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на

$\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Этап 34.1.2.4.8.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Этап 34.1.2.4.9

Перепишем

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 34.1.2.4.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.10.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 34.1.2.4.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 34.1.3

Объединим

$i$ и

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 34.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 34.2.2

Объединим

$1.18920711$ и

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 34.2.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Этап 34.3

Разделим дроби.

$u_{3} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

Этап 34.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.4.1

Разделим

$1.18920711$ на

$2$ .

$u_{3} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

Этап 34.4.2

Разделим

$\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ на

$1$ .

$u_{3} = 0.59460355 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 34.5

Применим свойство дистрибутивности.

$u_{3} = 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 34.6

Умножим

$0.59460355$ на

$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{3} = 0.45508986 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 34.7

Умножим

$0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.7.1

Умножим

$- 1$ на

$0.59460355$ .

$u_{3} = 0.45508986 - 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Этап 34.7.2

Умножим

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ на

$- 0.59460355$ .

$u_{3} = 0.45508986 - 1.09868411 i$

Этап 35

Подставим

$z - 3$ вместо

$u$ , чтобы вычислить значение

$z$ после сдвига вправо.

$z_{3} = 3 + 0.45508986 - 1.09868411 i$

Этап 36

Это комплексные решения

$u^{4} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09868411 + 0.45508986 i$

$z_{1} = 2.54491013 + 1.09868411 i$

$z_{2} = 1.90131588 - 0.45508986 i$

$z_{3} = 3.45508986 - 1.09868411 i$

Введите СВОЮ задачу