Примеры

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

Этап 1

Существует два общих уравнения гиперболы.

Уравнение горизонтальной гиперболы: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикальной гиперболы $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

$a$ — расстояние между вершиной $(4, 1)$ и центральной точкой $(5, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $5$ из $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Этап 2.3.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$a = 1$

Этап 3

$c$ — расстояние между фокусом $(- 5, 1)$ и центром $(5, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $5$ из $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Этап 3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Этап 3.3.5

Добавим $100$ и $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Этап 3.3.6

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 10$

Этап 4

Использование уравнения $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Подставим $1$ вместо $a$ , а $10$ вместо $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Этап 4.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$b^{2} = 100 - 1$

Этап 4.4.2

Вычтем $1$ из $100$ .

$b^{2} = 99$

Этап 4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$b = \pm \sqrt{99}$

Этап 4.6

Упростим $\pm \sqrt{99}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $99$ в виде $3^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель $9$ из $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Этап 4.6.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Этап 4.6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$b = 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Этап 5

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

$b = 3 \sqrt{11}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус $(- 5, 1)$ и центр $(5, 1)$ определяет, является гипербола вертикальной или горизонтальной. Если угловой коэффициент равен $0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Этап 6.4.2.2

Добавим $5$ и $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Этап 6.4.3

Разделим $0$ на $10$ .

$m = 0$

Этап 6.5

Общее уравнение горизонтальной гиперболы: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения $h = 5$ , $k = 1$ , $a = 1$ и $b = 3 \sqrt{11}$ в $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение гиперболы $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Этап 8.5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Этап 8.5.3

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.5.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Этап 8.5.3.5

Найдем экспоненту.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Этап 8.6

Умножим $9$ на $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу