Примеры

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 2 x - 8$

Этап 2

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 8$

Этап 2.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 2.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 2.1.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 2.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Этап 2.1.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = - 8 - 1$

Этап 2.1.4.2.2

Вычтем $1$ из $- 8$ .

$e = - 9$

Этап 2.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 1)}^{2} - 9$ .

${(x - 1)}^{2} - 9$

Этап 2.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

Этап 3

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 9$

Этап 4

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 5

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(1, - 9)$

Этап 6

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 6.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1, - \frac{35}{4})$

Этап 8

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 9

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 9.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{37}{4}$

Этап 10

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(1, - 9)$

Фокус: $(1, - \frac{35}{4})$

Ось симметрии: $x = 1$

Директриса: $y = - \frac{37}{4}$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу