Примеры

S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Этап 1

Назначим имя каждому вектору.

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Этап 2

Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Этап 3

Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Этап 4

Найдем ортогональный вектор

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ по этой формуле.

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.2

Подставим

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ вместо

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.3

Найдем

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Умножим

0

$0$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.3

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим

0

$0$ и

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Этап 4.3.2

Найдем норму

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 4.3.2.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 4.3.2.2.5

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 4.3.3

Найдем проекцию

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ на

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ по формуле проекции.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.4

Подставим

2

$2$ вместо

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.5

Подставим

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ вместо

| | {v⃗}_{1} | |

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.6

Подставим

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ вместо

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.2

Умножим

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ на каждый элемент матрицы.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

Умножим

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ на

1

$1$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.2

Умножим

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ на

1

$1$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.3

Умножим

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ на

1

$1$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.4

Подставим проекцию.

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим каждый компонент векторов.

(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.2

Вычтем

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ из

0

$0$ .

(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.3

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.5

Вычтем

2

$2$ из

3

$3$ .

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.6

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Этап 4.5.8

Вычтем

2

$2$ из

3

$3$ .

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5

Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.

Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Этап 6

Найдем единичный вектор

\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , где

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор

v⃗

$v⃗$ , разделив его на норму

v⃗

$v⃗$ .

\frac{v⃗}{| v⃗ |}

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 6.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{1 + 1 + 1}

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 6.3.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\sqrt{2 + 1}

$\sqrt{2 + 1}$

Этап 6.3.5

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$

Этап 6.4

Разделим вектор на его норму.

\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Этап 6.5

Разделим каждый элемент в векторе на

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Этап 7

Найдем единичный вектор

\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , где

{v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор

v⃗

$v⃗$ , разделив его на норму

v⃗

$v⃗$ .

\frac{v⃗}{| v⃗ |}

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 7.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Применим правило умножения к

- \frac{2}{3}

$- \frac{2}{3}$ .

\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Применим правило умножения к

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.3

Умножим

\frac{2^{2}}{3^{2}}

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на

1

$1$ .

\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.4

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.5

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.6

Применим правило умножения к

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.7

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.8

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.9

Применим правило умножения к

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 7.3.10

Единица в любой степени равна единице.

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 7.3.11

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.13

Добавим

4

$4$ и

1

$1$ .

\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 7.3.15

Добавим

5

$5$ и

1

$1$ .

\sqrt{\frac{6}{9}}

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 7.3.16

Сократим общий множитель

6

$6$ и

9

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.16.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

6

$6$ .

\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 7.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.16.2.1

Вынесем множитель

3

$3$ из

9

$9$ .

\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 7.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 7.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

\sqrt{\frac{2}{3}}

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

\sqrt{\frac{2}{3}}

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

\sqrt{\frac{2}{3}}

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 7.3.17

Перепишем

\sqrt{\frac{2}{3}}

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4

Разделим вектор на его норму.

\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Этап 7.5

Разделим каждый элемент в векторе на

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.2

Умножим

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.3

Перенесем

2

$2$ влево от

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.4

Перенесем

3

$3$ влево от

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.6

Умножим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Этап 7.6.8

Умножим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Этап 8

Подставим известные значения.

Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

Введите СВОЮ задачу