Примеры

f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Если

a

$a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{минимум}

$f_{минимум}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ входит в

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения

a

$a$ и

b

$b$ .

x = - \frac{3}{2 (5)}

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

x = - \frac{3}{2 (5)}

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Этап 2.3

Умножим

2

$2$ на

5

$5$ .

x = - \frac{3}{10}

$x = - \frac{3}{10}$

x = - \frac{3}{10}

$x = - \frac{3}{10}$

Этап 3

Найдем значение

f (- \frac{3}{10})

$f (- \frac{3}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

- \frac{3}{10}

$- \frac{3}{10}$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило умножения к

- \frac{3}{10}

$- \frac{3}{10}$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к

\frac{3}{10}

$\frac{3}{10}$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.3

Умножим

\frac{3^{2}}{10^{2}}

$\frac{3^{2}}{10^{2}}$ на

1

$1$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.4

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.5

Возведем

10

$10$ в степень

2

$2$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель

5

$5$ из

100

$100$ .

f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.7

Умножим

$3 (- \frac{3}{10})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Этап 3.2.1.7.2

Объединим

$- 3$ и

$\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Этап 3.2.1.7.3

Умножим

$- 3$ на

$3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Этап 3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим

$\frac{9}{10}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Этап 3.2.2.2

Умножим

$\frac{9}{10}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Этап 3.2.2.3

Запишем

$- 7$ в виде дроби со знаменателем

$1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Этап 3.2.2.4

Умножим

$\frac{- 7}{1}$ на

$\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Этап 3.2.2.5

Умножим

$\frac{- 7}{1}$ на

$\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.2.6

Изменим порядок множителей в

$10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.2.7

Умножим

$2$ на

$10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим

$- 9$ на

$2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Этап 3.2.4.2

Умножим

$- 7$ на

$20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем

$18$ из

$9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем

$140$ из

$- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Этап 3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ:

$- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Этап 4

Используем значения

$x$ и

$y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Этап 5

Введите СВОЮ задачу