Примеры

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

Этап 1

Разделим

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ , используя схему Горнера, и проверим, равен ли остаток

0

$0$ . Если остаток равен

0

$0$ , это означает, что

x - 1

$x - 1$ является множителем для

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Если остаток не равен

0

$0$ , это означает, что

x - 1

$x - 1$ не является множителем для

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Этап 1.2

Первое число в делимом

(1)

$(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Этап 1.3

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(1)

$(1)$ под следующим членом делимого

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Этап 1.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Этап 1.5

Умножим последний элемент в области результата

(- 1)

$(- 1)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(- 1)

$(- 1)$ под следующим членом делимого

(- 10)

$(- 10)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Этап 1.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Этап 1.7

Умножим последний элемент в области результата

(- 11)

$(- 11)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(- 11)

$(- 11)$ под следующим членом делимого

(7)

$(7)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Этап 1.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Этап 1.9

Умножим последний элемент в области результата

(- 4)

$(- 4)$ на делитель

(1)

$(1)$ и запишем их произведение

(- 4)

$(- 4)$ под следующим членом делимого

(4)

$(4)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Этап 1.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

Этап 1.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Этап 1.12

Упростим частное многочленов.

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Этап 2

Остаток от деления

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ равен

0

$0$ , значит,

x - 1

$x - 1$ является делителем

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

x - 1

$x - 1$ — множитель для

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Этап 3

Найдем все возможные корни для

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , где

p

$p$ — делитель константы, а

q

$q$ — делитель старшего коэффициента.

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 4

Выпишем следующее деление, чтобы определить, является ли

x - 4

$x - 4$ множителем полинома

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Этап 5

Разделим выражение с помощью схемы Горнера, чтобы определить, является ли оно делителем многочлена. Поскольку

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ делится без остатка на

x - 4

$x - 4$ , то

x - 4

$x - 4$ является делителем этого многочлена. Остается многочлен

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Этап 5.2

Первое число в делимом

(1)

$(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

	$1$ $1$

Этап 5.3

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(4)

$(4)$ и запишем их произведение

(4)

$(4)$ под следующим членом делимого

(- 1)

$(- 1)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

Этап 5.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Этап 5.5

Умножим последний элемент в области результата

(3)

$(3)$ на делитель

(4)

$(4)$ и запишем их произведение

(12)

$(12)$ под следующим членом делимого

(- 11)

$(- 11)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Этап 5.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Этап 5.7

Умножим последний элемент в области результата

(1)

$(1)$ на делитель

(4)

$(4)$ и запишем их произведение

(4)

$(4)$ под следующим членом делимого

(- 4)

$(- 4)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Этап 5.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

Этап 5.9

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Этап 5.10

Упростим частное многочленов.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Этап 6

Найдем все возможные корни для

$x^{2} + 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

$\frac{p}{q}$ , где

$p$ — делитель константы, а

$q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 6.2

Найдем все комбинации

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 7

Последний множитель ― это единственный множитель, остающийся при разложении многочлена по схеме Горнера.

$x^{2} + 3 x + 1$

Этап 8

Многочлен, разложенный на множители:

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

Введите СВОЮ задачу