Примеры

$(0, 1)$ , $(6, 1)$ , $(8, 1)$

Этап 1

Существует два общих уравнения эллипса.

Уравнение горизонтального эллипса: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикального эллипса $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

$a$ — расстояние между вершиной $(8, 1)$ и центральной точкой $(0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $0$ из $8$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Этап 2.3.5

Добавим $64$ и $0$ .

$a = \sqrt{64}$

Этап 2.3.6

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$a = \sqrt{8^{2}}$

Этап 2.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = 8$

Этап 3

$c$ — расстояние между фокусом $(6, 1)$ и центром $(0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $0$ из $6$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Этап 3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Этап 3.3.5

Добавим $36$ и $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Этап 3.3.6

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 6$

Этап 4

Использование уравнения $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Подставим $8$ вместо $a$ , а $6$ вместо $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Этап 4.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Этап 4.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$- b^{2} = 36 - 64$

Этап 4.4.2

Вычтем $64$ из $36$ .

$- b^{2} = - 28$

Этап 4.5

Разделим каждый член $- b^{2} = - 28$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $- b^{2} = - 28$ на $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $b^{2}$ на $1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $- 28$ на $- 1$ .

$b^{2} = 28$

Этап 4.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$b = \pm \sqrt{28}$

Этап 4.7

Упростим $\pm \sqrt{28}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Этап 4.7.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Этап 4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Этап 4.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$b = 2 \sqrt{7}$

Этап 4.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Этап 4.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Этап 5

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

$b = 2 \sqrt{7}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус $(6, 1)$ и центр $(0, 1)$ определяет, является ли эллипс вертикальным или горизонтальным. Если угловой коэффициент равен $0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{1 - (1)}{0 - (6)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$m = \frac{1 - 1}{0 - (6)}$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$m = \frac{0}{0 - (6)}$

Этап 6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$m = \frac{0}{0 - 6}$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $6$ из $0$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Этап 6.4.3

Разделим $0$ на $- 6$ .

$m = 0$

Этап 6.5

Общее уравнение горизонтального эллипса: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения $h = 0$ , $k = 1$ , $a = 8$ и $b = 2 \sqrt{7}$ в $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение эллипса $\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Этап 8.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Этап 8.4.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Этап 8.4.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Этап 8.5

Умножим $4$ на $7$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{28} = 1$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу