Примеры

(5, - 3)

$(5, - 3)$ ,

(4, - 3)

$(4, - 3)$ ,

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$

Этап 1

Существует два общих уравнения гиперболы.

Уравнение горизонтальной гиперболы:

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикальной гиперболы

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

a

$a$ — расстояние между вершиной

(4, - 3)

$(4, - 3)$ и центральной точкой

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем

5

$5$ из

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 2.3.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Добавим

- 3

$- 3$ и

3

$3$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Этап 2.3.5

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Этап 2.3.6

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Этап 2.3.7

Любой корень из

1

$1$ равен

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Этап 3

c

$c$ — расстояние между фокусом

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ и центром

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем

5

$5$ из

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем

- 10

$- 10$ в степень

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Добавим

- 3

$- 3$ и

3

$3$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Этап 3.3.5

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Этап 3.3.6

Добавим

100

$100$ и

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Этап 3.3.7

Перепишем

100

$100$ в виде

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Этап 4

Использование уравнения

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Подставим

1

$1$ вместо

a

$a$ , а

10

$10$ вместо

c

$c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Этап 4.3

Возведем

10

$10$ в степень

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Этап 4.4

Перенесем все члены без

b

$b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Этап 4.4.2

Вычтем

1

$1$ из

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Этап 4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Этап 4.6

Упростим

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем

99

$99$ в виде

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Вынесем множитель

9

$9$ из

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Этап 4.6.1.2

Перепишем

9

$9$ в виде

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Этап 4.6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Этап 4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Этап 5

b

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ и центр

(5, - 3)

$(5, - 3)$ определяет, является гипербола вертикальной или горизонтальной. Если угловой коэффициент равен

0

$0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения

y

$y$ к изменению

x

$x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

m = \frac{изменение по y}{изменение по x}

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в

x

$x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в

y

$y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения

x

$x$ и

y

$y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4.1.2

Добавим

- 3

$- 3$ и

3

$3$ .

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Этап 6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 5

$- 5$ .

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Этап 6.4.2.2

Добавим

5

$5$ и

5

$5$ .

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

Этап 6.4.3

Разделим

0

$0$ на

10

$10$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Этап 6.5

Общее уравнение горизонтальной гиперболы:

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения

h = 5

$h = 5$ ,

k = - 3

$k = - 3$ ,

a = 1

$a = 1$ и

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ в

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение гиперболы

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

5

$5$ .

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Единица в любой степени равна единице.

\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Разделим

{(x - 5)}^{2}

${(x - 5)}^{2}$ на

1

$1$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Этап 8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к

3 \sqrt{11}

$3 \sqrt{11}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Этап 8.5.2

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Этап 8.5.3

Перепишем

{\sqrt{11}}^{2}

${\sqrt{11}}^{2}$ в виде

11

$11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{11}

$\sqrt{11}$ в виде

11^{\frac{1}{2}}

$11^{\frac{1}{2}}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.5.3.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

{(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.3.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.4.1

Сократим общий множитель.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.5.3.4.2

Перепишем это выражение.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Этап 8.5.3.5

Найдем экспоненту.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Этап 8.6

Умножим

$9$ на

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу