Примеры

$(1, 2, - 3)$ , $(3, 5, - 3)$ , $(1, - 1, 1)$ , $(- 2, - 2, - 2)$

Этап 1

По заданным точкам $C = (1, - 1, 1)$ и $D = (- 2, - 2, - 2)$ находим плоскость, содержащую точки $A = (1, 2, - 3)$ и $B = (3, 5, - 3)$ и параллельную прямой $CD$ .

$A = (1, 2, - 3)$

$B = (3, 5, - 3)$

$C = (1, - 1, 1)$

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Этап 2

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки $C$ и $D$ . Для этого вычтем значения координат точки $C$ из координат точки $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Этап 3

Заменим значения $x$ , $y$ и $z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления $V_{CD}$ для прямой $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Этап 4

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки $A$ и $B$ , используя тот же метод.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Этап 5

Заменим значения $x$ , $y$ и $z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления $V_{AB}$ для прямой $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Этап 6

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки $A$ и $B$ , с вектором направления $V_{A B}$ . Чтобы эта плоскость была параллельна прямой $C D$ , найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой $C D$ . Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением $V_{A B}$ x $V_{C D}$ , найдя определитель матрицы $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Этап 7

Вычислим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 7.1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Этап 7.1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Этап 7.1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.1.9

Сложим члены.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $- - 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 9$ и $0$ .

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.2

Добавим $- 6$ и $0$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Этап 7.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Этап 7.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Этап 7.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Этап 7.4.2.2

Добавим $- 2$ и $9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $- 9$ влево от $i$ .

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Этап 7.5.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Этап 8

Решим выражение $(- 9) x + (6) y + (7) z$ в точке $A$ , так как она лежит на плоскости. Это позволит вычислить константу в уравнении плоскости.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Этап 8.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Этап 8.1.3

Умножим $7$ на $- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Этап 8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $- 9$ и $12$ .

$3 - 21$

Этап 8.2.2

Вычтем $21$ из $3$ .

$- 18$

Этап 9

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости $(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Этап 10

Умножим $7$ на $z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

Введите СВОЮ задачу