Примеры

x - y = 4

$x - y = 4$ ,

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$

Этап 1

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку

(p, q, r)

$(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ , с плоскостью

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости

P_{1}

$P_{1}$ и плоскости

P_{2}

$P_{2}$ , где векторы нормали — это

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ и

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости

P_{2}

$P_{2}$ так, чтобы

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для

t

$t$

4. Используя значение

t

$t$ , решим параметрические уравнения

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ и

z = r + c t

$z = r + c t$ относительно

t

$t$ , чтобы найти пересечение

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Этап 2

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

P_{1}

$P_{1}$ представляет собой

x - y = 4

$x - y = 4$ . Найдем вектор нормали

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.2

P_{2}

$P_{2}$ представляет собой

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ . Найдем вектор нормали

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.3

Вычислим скалярное произведение

n_{1}

$n_{1}$ и

n_{2}

$n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ в векторах нормали.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

4 + 1 + 0 \cdot 0

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим

0

$0$ на

0

$0$ .

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

4 + 1 + 0

$4 + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Добавим

4

$4$ и

1

$1$ .

5 + 0

$5 + 0$

Этап 2.4.3.2

Добавим

5

$5$ и

0

$0$ .

5

$5$

5

$5$

5

$5$

5

$5$

Этап 3

Затем составим набор параметрических уравнений

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ и

z = r + c t

$z = r + c t$ , используя начало координат

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ для точки

(p, q, r)

$(p, q, r)$ и значения из вектора нормали

5

$5$ для получения значений

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную

P_{1}

$P_{1}$

x - y = 4

$x - y = 4$ .

x = 0 + 1 \cdot t

$x = 0 + 1 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 4

Подставим выражение для

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ в уравнение для

P_{2}

$P_{2}$

4 x - y = - 5

$4 x - y = - 5$ .

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5

Решим уравнение относительно

t

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим противоположные члены в

4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Добавим

0

$0$ и

1 \cdot t

$1 \cdot t$ .

4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.1.2

Вычтем

1 \cdot t

$1 \cdot t$ из

0

$0$ .

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим

t

$t$ на

1

$1$ .

4 t - (- 1 \cdot t) = - 5

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Этап 5.1.2.2

Перепишем

- 1 t

$- 1 t$ в виде

- t

$- t$ .

4 t - - t = - 5

$4 t - - t = - 5$

Этап 5.1.2.3

Умножим

- - t

$- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

4 t + 1 t = - 5

$4 t + 1 t = - 5$

Этап 5.1.2.3.2

Умножим

t

$t$ на

1

$1$ .

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

4 t + t = - 5

$4 t + t = - 5$

Этап 5.1.3

Добавим

4 t

$4 t$ и

t

$t$ .

5 t = - 5

$5 t = - 5$

5 t = - 5

$5 t = - 5$

Этап 5.2

Разделим каждый член

5 t = - 5

$5 t = - 5$ на

5

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

5 t = - 5

$5 t = - 5$ на

5

$5$ .

\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

5

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим

$t$ на

$1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим

$- 5$ на

$5$ .

$t = - 1$

Этап 6

Решим параметрические уравнения относительно

$x$ ,

$y$ и

$z$ , используя значение

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим уравнение относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Этап 6.1.2

Упростим

$0 + 1 \cdot (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$x = 0 - 1$

Этап 6.1.2.2

Вычтем

$1$ из

$0$ .

$x = - 1$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Этап 6.2.2

Упростим

$0 - 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$y = 0 + 1$

Этап 6.2.2.2

Добавим

$0$ и

$1$ .

$y = 1$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно

$z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Этап 6.3.2

Упростим

$0 + 0 \cdot (- 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$z = 0 + 0$

Этап 6.3.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$z = 0$

Этап 6.4

Решенные параметрические уравнения относительно

$x$ ,

$y$ и

$z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Этап 7

Использование значений, вычисленных для

$x$ ,

$y$ и

$z$ , найденная точка пересечения:

$(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

Введите СВОЮ задачу