Линейная алгебра Примеры

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Этап 1.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Этап 1.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ и $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Этап 1.2.3

Добавим $8$ и $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Этап 2

Найдем норму $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Этап 2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Этап 2.2.5

Добавим $5$ и $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Этап 3

Найдем проекцию $a⃗$ на $a⃗$ по формуле проекции.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Этап 4

Подставим $10$ вместо $a⃗ \cdot b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Этап 5

Подставим $\sqrt{6}$ вместо $| | b⃗ | |$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Этап 6

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ вместо $b⃗$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $\frac{5}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 7.4

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 7.4.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 7.4.3

Умножим $\frac{5}{3}$ на $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу