Линейная алгебра Примеры

a = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2.1.2

Умножим

0

$0$ на

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2.1.3

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Этап 1.2.2

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Этап 1.2.3

Добавим

1

$1$ и

3

$3$ .

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Этап 2

Найдем норму

a⃗ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Этап 2.2.4

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Этап 2.2.5

Добавим

1

$1$ и

9

$9$ .

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Этап 3

Найдем проекцию

b⃗

$b⃗$ на

b⃗

$b⃗$ по формуле проекции.

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Этап 4

Подставим

4

$4$ вместо

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Этап 5

Подставим

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ вместо

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Этап 6

Подставим

[\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ вместо

a⃗

$a⃗$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ в виде

10

$10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ в виде

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель

$4$ и

$10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим

$\frac{2}{5}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим

$\frac{2}{5}$ на

$1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4.2

Умножим

$\frac{2}{5}$ на

$0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4.3

Умножим

$\frac{2}{5} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Объединим

$\frac{2}{5}$ и

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Этап 7.4.3.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу