Линейная алгебра Примеры

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Этап 1.2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Этап 1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Этап 2

Найдем норму $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Этап 3

Найдем проекцию $b⃗$ на $b⃗$ по формуле проекции.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Этап 4

Подставим $4$ вместо $b⃗ \cdot a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Этап 5

Подставим $\sqrt{10}$ вместо $| | a⃗ | |$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Этап 6

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ вместо $a⃗$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $4$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $\frac{2}{5}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{2}{5}$ на $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{2}{5}$ на $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Этап 7.4.3

Умножим $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Этап 7.4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу