Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ ,

[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Этап 1

Расстояние между двумя векторами

u⃗

$u⃗$ и

v⃗

$v⃗$ в

C^{n}

$ℂ^{n}$ определяется как

| | u⃗ - v⃗ | |

$| | u⃗ - v⃗ | |$ (евклидова норма разницы

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ ).

d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Этап 2

Найдем норму разницы

u⃗ - v⃗

$u⃗ - v⃗$ , где

u⃗ = [\begin{matrix} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{matrix}]

$u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ и

v⃗ = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 - i \end{matrix}]

$v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Создадим вектор из разности.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 i - 3 - 0 0 - 1 2 - (2 - i) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Этап 2.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем

0

$0$ из

2 i - 3

$2 i - 3$ .

\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.2

Переставляем члены.

\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.3

Используем формулу

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведем

- 3

$- 3$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.5

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.6

Добавим

9

$9$ и

4

$4$ .

\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7

Перепишем

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ в виде

13

$13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ в виде

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.7.5

Найдем экспоненту.

\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.8

Вычтем

1

$1$ из

0

$0$ .

\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.9

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Этап 2.3.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Этап 2.3.10.4

Умножим

i

$i$ на

1

$1$ .

\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Этап 2.3.11

Вычтем

$2$ из

$2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Этап 2.3.12

Добавим

$0$ и

$i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Этап 2.3.13

Используем формулу

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.14

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Этап 2.3.15

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Этап 2.3.16

Добавим

$0$ и

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Этап 2.3.17

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Этап 2.3.18

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Этап 2.3.19

Добавим

$13$ и

$1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Этап 2.3.20

Добавим

$14$ и

$1$ .

$\sqrt{15}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{15}$

Десятичная форма:

$3.87298334 \dots$

Введите СВОЮ задачу