Линейная алгебра Примеры

[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1

Векторное произведение двух векторов

a⃗

$a⃗$ и

b⃗

$b⃗$ можно записать в виде определителя со стандартными единичными векторами из

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ и элементами заданных векторов.

a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Этап 2

Составим определитель с заданными значениями.

| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 3.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Этап 3.5

Минор для

a_{12}

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

2

$2$ .

| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Этап 3.6

Умножим элемент

a_{12}

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Этап 3.7

Минор для

a_{13}

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

3

$3$ .

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Этап 3.8

Умножим элемент

a_{13}

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 3.9

Сложим члены.

| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4

Найдем значение

| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2

Умножим

- (- 3 \cdot 1)

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.2

Добавим

- 1

$- 1$ и

3

$3$ .

2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5

Найдем значение

| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.1.2

Умножим

- 5

$- 5$ на

1

$1$ .

2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.2

Вычтем

5

$5$ из

2

$2$ .

2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 6

Найдем значение

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим

2

$2$ на

- 3

$- 3$ .

2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2.1.2

Умножим

- 5

$- 5$ на

- 1

$- 1$ .

2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Этап 6.2.2

Добавим

- 6

$- 6$ и

5

$5$ .

2 î - - 3 ĵ - k̂

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

2 î - - 3 ĵ - k̂

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

2 î - - 3 ĵ - k̂

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Этап 7

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 3

$- 3$ .

2 î + 3 ĵ - k̂

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Этап 8

Перепишем ответ.

[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу