Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1

Векторное произведение двух векторов

$a⃗$ и

$b⃗$ можно записать в виде определителя со стандартными единичными векторами из

$ℝ^{3}$ и элементами заданных векторов.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Этап 2

Составим определитель с заданными значениями.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 3.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Этап 3.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Этап 3.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Этап 3.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Этап 3.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 3.9

Сложим члены.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2

Умножим

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.2

Добавим

$- 1$ и

$3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.1.2

Умножим

$- 5$ на

$1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.2

Вычтем

$5$ из

$2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 6

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим

$2$ на

$- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2.1.2

Умножим

$- 5$ на

$- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Этап 6.2.2

Добавим

$- 6$ и

$5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Этап 7

Умножим

$- 1$ на

$- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Этап 8

Перепишем ответ.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу