Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1

Векторное произведение двух векторов $a⃗$ и $b⃗$ можно записать в виде определителя со стандартными единичными векторами из $ℝ^{3}$ и элементами заданных векторов.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Этап 2

Составим определитель с заданными значениями.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 3.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 3.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Этап 3.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Этап 3.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Этап 3.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Этап 3.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 3.9

Сложим члены.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 4.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 5.2.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Этап 6

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Этап 6.2.2

Добавим $- 6$ и $5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Этап 8

Перепишем ответ.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу