Линейная алгебра Примеры

$(1, - 2)$ ,

$(- 2, 1)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле скалярного произведения.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Этап 2.2.2

Вычтем

$2$ из

$- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Этап 3

Найдем абсолютную величину

$a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Этап 3.2.3

Добавим

$1$ и

$4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину

$b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим

$4$ и

$1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 6.1.2

Возведем

$\sqrt{5}$ в степень

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 6.1.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 6.1.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 6.2

Перепишем

${\sqrt{5}}^{2}$ в виде

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{5}$ в виде

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.2.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Этап 6.2.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Этап 6.4

Найдем значение

$\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

Введите СВОЮ задачу