Линейная алгебра Примеры

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле векторного произведения.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем векторное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Векторное произведение двух векторов $a⃗$ и $b⃗$ можно записать в виде определителя со стандартными единичными векторами из $ℝ^{3}$ и элементами заданных векторов.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Этап 2.2

Составим определитель с заданными значениями.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.3.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 2.3.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Этап 2.3.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Этап 2.3.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.3.9

Сложим члены.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $0$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Этап 2.6

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Этап 2.6.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Этап 2.6.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Этап 2.6.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Этап 2.8

Перепишем ответ.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Этап 3

Найдем порядок величины векторного произведения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Этап 3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ и $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Этап 3.2.5

Добавим $17$ и $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Этап 4.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Этап 4.2.5

Добавим $4$ и $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Этап 5

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Этап 5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Этап 5.2.4

Добавим $4$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Этап 5.2.5

Добавим $5$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Этап 6

Подставим значения в формулу.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\sqrt{21}$ и $\sqrt{6}$ под одним знаком корня.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $21$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.4.2

Умножим $7$ на $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Этап 7.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Этап 7.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 7.6.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 7.6.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 7.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 7.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 7.6.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 7.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 7.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Этап 7.6.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Этап 7.7

Умножим $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $\frac{\sqrt{14}}{2}$ на $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Этап 7.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Этап 7.7.3

Умножим $14$ на $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Этап 7.7.4

Умножим $2$ на $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Этап 7.8

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

Введите СВОЮ задачу