Линейная алгебра Примеры

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Этап 1

Найдем угол между двумя векторами по формуле векторного произведения.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Найдем векторное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Векторное произведение двух векторов $a⃗$ и $b⃗$ можно записать в виде определителя со стандартными единичными векторами из $ℝ^{3}$ и элементами заданных векторов.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Этап 2.2

Составим определитель с заданными значениями.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.3.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 2.3.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Этап 2.3.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 2.3.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Этап 2.3.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Этап 2.3.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.3.9

Сложим члены.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $0$ на $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Этап 2.6

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Этап 2.6.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Этап 2.6.2.2

Добавим $3$ и $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Этап 2.8

Перепишем ответ.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Этап 3

Найдем порядок величины векторного произведения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Этап 3.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Этап 3.2.4

Добавим $49$ и $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Этап 3.2.5

Добавим $50$ и $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину $a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Этап 4.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Этап 4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Этап 4.2.5

Добавим $2$ и $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Этап 5

Найдем абсолютную величину $b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Этап 5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Этап 5.2.4

Добавим $0$ и $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Этап 5.2.5

Добавим $9$ и $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Этап 6

Подставим значения в формулу.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Этап 7.1.2

Умножим $6$ на $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Этап 7.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Этап 7.3

Умножим $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Этап 7.4.2

Перенесем $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Этап 7.4.4

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Этап 7.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Этап 7.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Этап 7.4.7

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 7.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 7.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Этап 7.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Этап 7.4.7.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Этап 7.5.2

Умножим $59$ на $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Этап 7.6

Умножим $2$ на $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Этап 7.7

Найдем значение $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

Введите СВОЮ задачу