Линейная алгебра Примеры

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ ,

(0, 0, 1)

$(0, 0, 1)$

Этап 1

Назначим имя каждому вектору.

{u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

{u⃗}_{2} = (0, 1, 1)

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

{u⃗}_{3} = (0, 0, 1)

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Этап 2

Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.

{v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Этап 3

Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.

{v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - k - 1 \sum i = 1 {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Этап 4

Найдем ортогональный вектор

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем

{v⃗}_{2}

${v⃗}_{2}$ по этой формуле.

{v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.2

Подставим

(0, 1, 1)

$(0, 1, 1)$ вместо

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ .

{v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.3

Найдем

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Умножим

0

$0$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.3

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим

0

$0$ и

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Этап 4.3.2

Найдем норму

{v⃗}_{1} = (1, 1, 1)

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 4.3.2.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 4.3.2.2.5

Добавим

2

$2$ и

1

$1$ .

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 4.3.3

Найдем проекцию

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ на

{u⃗}_{2}

${u⃗}_{2}$ по формуле проекции.

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.4

Подставим

2

$2$ вместо

{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.5

Подставим

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ вместо

| | {v⃗}_{1} | |

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.6

Подставим

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ вместо

{v⃗}_{1}

${v⃗}_{1}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

{proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.2

Умножим

$\frac{2}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.2

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.3

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.4

Подставим проекцию.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.2

Вычтем

$\frac{2}{3}$ из

$0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.3

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.5

Вычтем

$2$ из

$3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.6

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Этап 4.5.8

Вычтем

$2$ из

$3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5

Найдем ортогональный вектор

${v⃗}_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем

${v⃗}_{3}$ по этой формуле.

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Этап 5.2

Подставим

$(0, 0, 1)$ вместо

${u⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Этап 5.3

Найдем

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Умножим

$0$ на

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2.1.2

Умножим

$0$ на

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.2.1.3

Умножим

$1$ на

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Этап 5.3.1.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Этап 5.3.1.2.3

Добавим

$0$ и

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Этап 5.3.2

Найдем норму

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 5.3.2.2.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 5.3.2.2.5

Добавим

$2$ и

$1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 5.3.3

Найдем проекцию

${u⃗}_{3}$ на

${u⃗}_{3}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.4

Подставим

$1$ вместо

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.5

Подставим

$\sqrt{3}$ вместо

$| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 5.3.6

Подставим

$(1, 1, 1)$ вместо

${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перепишем

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{3}$ в виде

$3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 5.3.7.2

Умножим

$\frac{1}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3.2

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.3.7.3.3

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4

Найдем

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.1

Умножим

$0 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1.1.1

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.1.2

Умножим

$0$ на

$\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.2

Умножим

$0$ на

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Этап 5.4.1.2.1.3

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Этап 5.4.1.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Этап 5.4.1.2.3

Добавим

$0$ и

$\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4.2

Найдем норму

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Применим правило степени

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Применим правило умножения к

$- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Применим правило умножения к

$\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.3

Умножим

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.4

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.5

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.6

Применим правило умножения к

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.8

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.9

Применим правило умножения к

$\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.4.2.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 5.4.2.2.11

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.13

Добавим

$4$ и

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 5.4.2.2.15

Добавим

$5$ и

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 5.4.2.2.16

Сократим общий множитель

$6$ и

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.16.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 5.4.2.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.16.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.4.2.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.4.2.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.2.17

Перепишем

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.18

Умножим

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.1

Умножим

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19.2

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.4.2.2.19.3

Возведем

$\sqrt{3}$ в степень

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.4.2.2.19.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.2.2.19.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6

Перепишем

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{3}$ в виде

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.19.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.4.2.2.19.6.5

Найдем экспоненту.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.4.2.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.20.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 5.4.2.2.20.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 5.4.3

Найдем проекцию

${u⃗}_{3}$ на

${u⃗}_{3}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.4

Подставим

$\frac{1}{3}$ вместо

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.5

Подставим

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ вместо

$| | {v⃗}_{2} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Этап 5.4.6

Подставим

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ вместо

${v⃗}_{2}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.1

Применим правило умножения к

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2

Перепишем

${\sqrt{6}}^{2}$ в виде

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{6}$ в виде

$6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.2.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.3

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4

Сократим общий множитель

$6$ и

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.4.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1.4.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.3

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.3.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.3.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.4

Умножим

$\frac{1}{2}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{2}{3}$ в числитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.2

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.3

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.1.4

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.3

Умножим

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.3.1

Умножим

$\frac{1}{2}$ на

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.3.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 5.4.7.5.4

Умножим

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.5.4.1

Умножим

$\frac{1}{2}$ на

$\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Этап 5.4.7.5.4.2

Умножим

$2$ на

$3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.5

Подставим проекции.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Этап 5.6.2

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.3

Умножим

$- (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.3.2

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.2.1

Добавим

$- 1$ и

$1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.4.2.2

Разделим

$0$ на

$3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.5

Умножим

$- 1$ на

$\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.6

Вычтем

$\frac{1}{3}$ из

$0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.7

Чтобы записать

$- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

$6$ , умножив на подходящий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.8.1

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.8.2

Умножим

$3$ на

$2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.9.2

Вычтем

$1$ из

$- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10

Сократим общий множитель

$- 3$ и

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.10.1

Вынесем множитель

$3$ из

$- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.10.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2.2

Сократим общий множитель.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.10.2.3

Перепишем это выражение.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.12.1

Запишем

$1$ в виде дроби со знаменателем

$1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.2

Умножим

$\frac{1}{1}$ на

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.3

Умножим

$\frac{1}{1}$ на

$\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.4

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.5

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.6

Изменим порядок множителей в

$3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.12.7

Умножим

$2$ на

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Этап 5.6.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Этап 5.6.14

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.14.1

Вычтем

$2$ из

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Этап 5.6.14.2

Вычтем

$1$ из

$4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Этап 5.6.15

Сократим общий множитель

$3$ и

$6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.15.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Этап 5.6.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.15.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Этап 5.6.15.2.2

Сократим общий множитель.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Этап 5.6.15.2.3

Перепишем это выражение.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Этап 6

Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Этап 7

Найдем единичный вектор

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , где

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор

$v⃗$ , разделив его на норму

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 7.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 7.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 7.3.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Этап 7.3.5

Добавим

$2$ и

$1$ .

$\sqrt{3}$

Этап 7.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Этап 7.5

Разделим каждый элемент в векторе на

$\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Этап 8

Найдем единичный вектор

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , где

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор

$v⃗$ , разделив его на норму

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 8.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к

$- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к

$\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.3

Умножим

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на

$1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.4

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.5

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.6

Применим правило умножения к

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.8

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 8.3.9

Применим правило умножения к

$\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 8.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 8.3.11

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.13

Добавим

$4$ и

$1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 8.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 8.3.15

Добавим

$5$ и

$1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 8.3.16

Сократим общий множитель

$6$ и

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 8.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 8.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 8.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 8.3.17

Перепишем

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Этап 8.5

Разделим каждый элемент в векторе на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.2

Умножим

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.3

Перенесем

$2$ влево от

$\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.4

Перенесем

$3$ влево от

$\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.6

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 8.6.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Этап 8.6.8

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Этап 9

Найдем единичный вектор

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ , где

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор

$v⃗$ , разделив его на норму

$v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 9.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.2

Применим правило степени

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Применим правило умножения к

$- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило умножения к

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.4

Умножим

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на

$1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.6

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 9.3.7

Применим правило умножения к

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 9.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 9.3.9

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 9.3.10

Добавим

$0$ и

$\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 9.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Этап 9.3.12

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Этап 9.3.13

Сократим общий множитель

$2$ и

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 9.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.13.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 9.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3.14

Перепишем

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.15

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 9.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Этап 9.5

Разделим каждый элемент в векторе на

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.2

Умножим

$0$ на

$\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.4

Объединим

$\sqrt{2}$ и

$\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Этап 9.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Этап 9.6.6

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 10

Подставим известные значения.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Введите СВОЮ задачу