Линейная алгебра Примеры

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Этап 1

Назначим имя каждому вектору.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Этап 2

Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Этап 3

Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Этап 4

Найдем ортогональный вектор ${v⃗}_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем ${v⃗}_{2}$ по этой формуле.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.2

Подставим $(0, 1, 1)$ вместо ${u⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Этап 4.3

Найдем ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Умножим $0$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим $1$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.2.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Этап 4.3.2

Найдем норму ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 4.3.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 4.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Этап 4.3.2.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Этап 4.3.3

Найдем проекцию ${u⃗}_{2}$ на ${u⃗}_{2}$ по формуле проекции.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.4

Подставим $2$ вместо ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.5

Подставим $\sqrt{3}$ вместо $| | {v⃗}_{1} | |$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Этап 4.3.6

Подставим $(1, 1, 1)$ вместо ${v⃗}_{1}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.1.5

Найдем экспоненту.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Этап 4.3.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на каждый элемент матрицы.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.3.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 4.3.7.3.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.4

Подставим проекцию.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим каждый компонент векторов.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.2

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Этап 4.5.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 4.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Этап 4.5.8

Вычтем $2$ из $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Этап 5

Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Этап 6

Найдем единичный вектор $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , где ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор $v⃗$ , разделив его на норму $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 6.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Этап 6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Этап 6.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Этап 6.3.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt{3}$

Этап 6.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Этап 6.5

Разделим каждый элемент в векторе на $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Этап 7

Найдем единичный вектор $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , где ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор $v⃗$ , разделив его на норму $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Этап 7.2

Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.3

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Этап 7.3.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Этап 7.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Этап 7.3.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.13

Добавим $4$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 7.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Этап 7.3.15

Добавим $5$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Этап 7.3.16

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Этап 7.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 7.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Этап 7.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Этап 7.3.17

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 7.4

Разделим вектор на его норму.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Этап 7.5

Разделим каждый элемент в векторе на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.4

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Этап 7.6.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Этап 7.6.8

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Этап 8

Подставим известные значения.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

Введите СВОЮ задачу