Линейная алгебра Примеры

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ ,

[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ ,

[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Этап 1

Два вектора ортогональны, если скалярное произведение равно

0

$0$ .

Этап 2

Найдем скалярное произведение

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ и

[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим

0

$0$ на

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Этап 2.2.2

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Этап 2.2.3

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 3

Найдем скалярное произведение

[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ и

[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.2

Умножим

0 (- \sqrt{2})

$0 (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим

0

$0$ на

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.2.1.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Этап 3.2.2

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Этап 3.2.3

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 4

Найдем скалярное произведение

[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ и

[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.

1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2

Умножим

\sqrt{2} (- \sqrt{2})

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.2

Возведем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в степень

1

$1$ .

1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.3

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.2.4

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3

Перепишем

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ в виде

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

1 - 2^{1} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

1 - 2^{1} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

1 - 2 + 1 \cdot 1

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Этап 4.2.1.5

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

1 - 2 + 1

$1 - 2 + 1$

1 - 2 + 1

$1 - 2 + 1$

Этап 4.2.2

Вычтем

2

$2$ из

1

$1$ .

- 1 + 1

$- 1 + 1$

Этап 4.2.3

Добавим

- 1

$- 1$ и

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 5

Векторы ортогональны, так как все их скалярные произведения равны

0

$0$ .

Ортогональны

Введите СВОЮ задачу