Линейная алгебра Примеры

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Этап 1

Дефект — это размерность нуль-пространства, которая совпадает с количеством свободных переменных в системе после приведения по строкам. Свободные переменные — это столбцы без разрешающих элементов.

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим каждый элемент

R_{1}

$R_{1}$ на

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

1, 1

$1, 1$ равным

1

$1$ .

[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 6 - 4 (\frac{2}{3}) \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 6 - 4 (\frac{2}{3}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

\frac{3}{10}

$\frac{3}{10}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый элемент

R_{2}

$R_{2}$ на

\frac{3}{10}

$\frac{3}{10}$ , чтобы сделать значение в

2, 2

$2, 2$ равным

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Позиции разрешающего элемента — это позиции, начинающиеся с

1

$1$ в каждой строке. Разрешающие столбцы — это столбцы, содержащие позицию разрешающего элемента.

Разрешающие элементы:

a_{11}

$a_{11}$ и

a_{22}

$a_{22}$

Разрешающие столбцы:

1

$1$ и

2

$2$

Этап 4

Размерность нуль-пространства — это количество столбцов без позиции разрешающего элемента в сокращенной по строкам матрице.

0

$0$

Введите СВОЮ задачу