Линейная алгебра Примеры

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$ , $v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Этап 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Присвоим этому набору имя $S$ , а вектору — имя $v$ .

Этап 2

Составим линейное соотношение, чтобы увидеть, есть ли у этой системы нетривиальное решение.

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем векторы в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 3.2

Запишем в виде расширенной матрицы для $A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]$

Этап 3.3

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 + 1 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & 4 \end{array}]$

Этап 3.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3.5

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + 2 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 4

Так как полученная система непротиворечива, этот вектор является элементом множества.

$v \in ⟨ S ⟩$