Линейная алгебра Примеры

v = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 411 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ ,

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 - 5 13 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 - 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

Этап 1

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 - 5 13 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 - 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

v = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 411 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

Присвоим этому набору имя

S

$S$ , а вектору — имя

v

$v$ .

Этап 2

Составим линейное соотношение, чтобы увидеть, есть ли у этой системы нетривиальное решение.

a ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + b ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 3 - 5 13 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + d ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 - 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 411 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}] + b [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем векторы в виде матрицы.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 2 & - 5 & - 1 - 4 & 13 & - 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & - 5 & - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 \end{array}]$

Этап 3.2

Запишем в виде расширенной матрицы для

A x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 411 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 2 & - 5 & - 1 & 4 - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 & - 5 & - 1 & 4 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Этап 3.3

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

2, 1

$2, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot - 3 & - 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 1 - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot - 3 & - 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

Этап 3.4

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}

$R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

3, 1

$3, 1$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 - 4 + 4 \cdot 1 & 13 + 4 \cdot - 3 & - 12 + 4 \cdot 2 & 11 + 4 \cdot - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 13 + 4 \cdot - 3 & - 12 + 4 \cdot 2 & 11 + 4 \cdot - 1 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 0 & 1 & - 4 & 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 & 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 0 & 1 & - 4 & 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 & 7 \end{array}]$

Этап 3.5

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Выполним операцию над строками

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

3, 2

$3, 2$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 5 & 7 - 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 5 & 7 - 6 \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & - 5 & 6 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.6

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

2, 3

$2, 3$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Выполним операцию над строками

R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}

$R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

2, 3

$2, 3$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 6 + 5 \cdot 1 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 6 + 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.6.2

Упростим

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 1 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.7

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

1, 3

$1, 3$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

1, 3

$1, 3$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.7.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 3 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 3 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.8

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Выполним операцию над строками

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

1, 2

$1, 2$ равным

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 11 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 11 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.8.2

Упростим

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 30 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 30 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 30 0 & 1 & 0 & 11 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Так как полученная система непротиворечива, этот вектор является элементом множества.

v \in ⟨ S ⟩

$v \in ⟨ S ⟩$

Введите СВОЮ задачу