Линейная алгебра Примеры

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Этап 1

Перенесем все переменные в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем

4 y

$4 y$ из обеих частей уравнения.

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Этап 1.2

Вычтем

3

$3$ из обеих частей уравнения.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Этап 1.3

Вычтем

8 x

$8 x$ из обеих частей уравнения.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

Этап 1.4

Изменим порядок

y

$y$ и

- 8 x

$- 8 x$ .

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

Этап 2

Представим систему уравнений в матричном формате.

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Этап 3

Найдем определитель матрицы коэффициентов

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем

[\begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ в виде определителя.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 4 - 8 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Этап 3.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим

5

$5$ на

1

$1$ .

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.2

Умножим

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим

- 8

$- 8$ на

- 4

$- 4$ .

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

32

$32$ .

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

Этап 3.3.2

Вычтем

32

$32$ из

5

$5$ .

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

Этап 4

Так как определитель не равен

0

$0$ , эту систему можно решить с помощью метода Крамера.

Этап 5

Найдем значение

x

$x$ методом Крамера, согласно которому

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим столбец

1

$1$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам

x

$x$ системы на

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & - 4 - 2 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

1

$1$ .

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

- 4

$- 4$ .

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

8

$8$ .

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

Этап 5.2.2.2

Вычтем

8

$8$ из

- 3

$- 3$ .

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

Этап 5.3

Используем формулу для решения относительно

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 5.4

Подставим в формуле

- 27

$- 27$ вместо

D

$D$ и

- 11

$- 11$ вместо

D_{x}

$D_{x}$ .

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

Этап 6

Найдем значение

y

$y$ методом Крамера, согласно которому

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим столбец

2

$2$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам

y

$y$ системы на

[\begin{matrix} - 3 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & - 3 - 8 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Этап 6.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим

5

$5$ на

- 2

$- 2$ .

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Умножим

- 8

$- 8$ на

- 3

$- 3$ .

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

24

$24$ .

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

Этап 6.2.2.2

Вычтем

24

$24$ из

- 10

$- 10$ .

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

Этап 6.3

Используем формулу для решения относительно

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 6.4

Подставим в формуле

- 27

$- 27$ вместо

D

$D$ и

- 34

$- 34$ вместо

D_{y}

$D_{y}$ .

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Этап 6.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Этап 7

Приведем решение системы уравнений.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Введите СВОЮ задачу