Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Запишем эту матрицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2

Умножим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна $2 \times 2$ , а вторая — $2 \times 2$ .

Этап 2.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 2.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Этап 3

Решим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем в виде линейной системы уравнений.

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Этап 3.2

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $u_{11}$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Заменим все вхождения $u_{11}$ в $l_{21} u_{11} = 2$ на $1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Этап 3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $l_{21}$ на $1$ .

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Этап 3.2.2

Заменим все вхождения $l_{21}$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Заменим все вхождения $l_{21}$ в $l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ на $2$ .

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $2$ на $u_{12}$ .

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{12}$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Заменим все вхождения $u_{12}$ в $2 u_{12} + u_{22} = 3$ на $- 1$ .

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.4

Перенесем все члены без $u_{22}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.4.2

Добавим $3$ и $2$ .

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Этап 3.2.5

Решим систему уравнений.

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Этап 3.2.6

Перечислим все решения.

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Этап 4

Подставим найденные значения.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

Введите СВОЮ задачу